3. Resolva as seguintes equações diferenciais:

g) x 2 + 1 y ' + y 2 + 1 = 0 y 0 = 1

Passo 1

Falaa... beleza???

Nessa questão vamos calcular a equação diferencial separável.

Pra isso vamos lembrar que pra resolver uma equação diferencial separável temos que “separar” tudo que tem uma variável de um lado e tudo que a outra variável do outro lado. Depois disso integramos os dois lados.

Passo 2

Temos:

x 2 + 1 y ' + y 2 + 1 = 0

Reorganizando os termos:

x 2 + 1 d y d x + y 2 + 1 = 0

x 2 + 1 d y d x = - y 2 + 1

1 1 + y 2 d y = - 1 1 + x 2 d x

Passo 3

Integrando dos dois lados:

∫ 1 1 + y 2 d y = - ∫ 1 1 + x 2 d x

arctan ⁡ y + K 1 = - arctan ⁡ x + K 2

Podemos deixar as constantes do mesmo lado: C = K 2 - K 1

arctan ⁡ y = - arctan ⁡ x + C

Passo 4

Como temos a condição inicial y 0 = 1 , substituímos na equação e achamos a constante:

arctan ⁡ 1 = - arctan ⁡ 0 + C

π 4 = - 0 + C

C = π 4

Voltando pra equação:

arctan ⁡ y = - arctan ⁡ x + π 4

y = tan ⁡ - arctan ⁡ x + π 4

Passo 5

Lembrando que:

tan ⁡ a + b = tan ⁡ a + tan ⁡ b 1 - tan ⁡ a tan ⁡ b

Então:

y = tan ⁡ - arctan ⁡ x + tan ⁡ π 4 1 - tan ⁡ - arctan ⁡ x tan ⁡ π 4

y = - x + 1 1 - - x 1

y = 1 - x 1 + x

Resposta

y = 1 - x 1 + x

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