Mostre que as funções abaixo são soluções para as equações diferenciais correspondentes:

b y^2 = 2C*x + C^2 é solução de y (dy/dx)^2 + 2x (dy/dx) - y = 0 ;

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Precisamos verificar que

y 2   =   2 C x   +   C   2  

é solução da equação diferencial

    y ( d y d x ) 2   + 2 x   d y d x   -   y   =   0

Primeiro precisamos calcular a derivada de y e depois substituir na equação diferencial e verificar se a igualdade é atendida! Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a derivada com relação a x nos dois lados da equação y 2   =   2 C x   +   C   2  

d y 2 d x = d d x ( 2 C x   +   C 2 )

derivando cada termo:

2 y d y d x = 2 C

Ou seja,

d y d x = C y

Vamos substituir na equação diferencial!

Passo 3

Substituindo os termos na equação

    y ( d y d x ) 2   + 2 x   d y d x   -   y   = y ( C y ) 2 + 2 x C y - y ) = C 2 y + 2 x C y - y

Colocando 1 y em evidência

  C 2 y + 2 x C y - y = 1 y ( C 2 + 2 x C - y 2 )

então, substituindo y 2

1 y ( C 2 + 2 x C - y 2 ) = 1 y ( C 2 + 2 x C - ( C 2 + 2 x C ) ) = 1 y ( 0 ) = 0

Confirmando que y 2   =   2 C x   +   C   2   é solução da equação diferencial!

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

  y 2   =   2 C x   +   C   2   é solução de     y ( d y d x ) 2   + 2 x   d y d x   -   y   =   0

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