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Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

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Enunciado

UFRJ, Sem Campus, Cálculo 2, Exercícios de equações diferenciais separáveis, Questão 9

Sabe-se que um certo material radioativo se desintegra a uma taxa proporcional à quantidade presente. Observa-se que um bloco deste material, que originalmente tinha 100gr, depois de 20 anos ficou apenas com 80gr. Encontre uma expressão para a massa do bloco em função do tempo. Calcule a meia-vida do material.

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos que um certo material radioativo se desintegra a uma taxa proporcional à quantidade presente. O enunciado pede para encontrar uma expressão para a massa do bloco em função do tempo calcular a meia-vida do material.

Vamos montar a equação diferencial envolvida, resolvê-la pelo método de separação de variáveis. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, como temos que a taxa de desintegração do material é proporcional à quantidade presente, podemos escrever a seguinte equação diferencial para a sua massa:

d m ( t ) d t = C   m ( t )

sendo m ( t ) a massa do material medida em gr, e t o instante de tempo medido em anos. Podemos resolver essa equação diferencial pelo método de separação de variáveis, que consiste em separar cada variável de um lado da equação e integrar:

d m ( t ) d t = C   m ( t )

d m ( t ) m ( t ) = C   d t

Integrando,

l n ( m ( t ) ) = C t + C 1

Tomando a exponencial dos dois lados, temos

m ( t ) = e C t + C 1 = C 2 e C t

sendo C 2 = e C 1 t .

Passo 3

Agora vamos utilizar as condições

    m ( 0 ) = 100 g r e     m ( 20 ) = 80 g r

Substituindo

  m ( 0 ) = C 2 = 100 g r

e

m ( 20 ) = 100   e C 20 = 80 g r

Isolando C

100   e C 20 = 80 g r

  e C 20 = 4 5

Tomando o l n de ambos os lados

l n (   e C 20 ) = l n ( 4 5 )

  20 C = l n ( 4 5 )

  C = 1 20 l n ( 4 5 )

Então,

m ( t ) = 100 e t 20 l n ( 4 5 )

É a expressão para a massa em função do tempo.

Passo 4

Agora vamos calcular o tempo de meia vida, que é o tempo que leva para a massa ser reduzida para a metade da sua quantidade inicial

m ( t 1 / 2 ) = 100 2 = 100 e t 1 / 2 20 l n ( 4 5 )

1 2 = e t 1 / 2 20 l n ( 4 5 )

Tomando o l n de ambos os lados

l n ( 1 2 ) = - l n 2 = t 1 / 2 20 l n ( 4 5 )

Então,

t 1 / 2 = - 20 l n 2 l n ( 4 5 )

Esse é o tempo de meia vida.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

m ( t ) = 100 e t 20 l n ( 8 10 ) e t 1 / 2 = - 20 l n 2 l n ( 4 5 ) .

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