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Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

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Enunciado

UFRJ, Sem Campus, Cálculo 2, Exercícios de equações diferenciais separáveis, Questão 11

Certa pessoa infectada por uma doença contagiosa introduziu-se numa população saudável de 999 pessoas. O mal se espalhou por contato, conseguindo-se deduzir a lei de propagação y’(t) = βyx onde t = tempo é medido em meses, y(t) é o número de pessoas infectadas no instante t e x(t) é o número de pessoas não infectadas no instante t. Considerando que uma pessoa infectada permanecerá doente durante todo o tempo e que 100 pessoas serão infectadas 12 meses após o início do processo de contágio, pergunta-se: Quanto tempo será necessário para que a metade da população esteja infectada?

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos que uma certa pessoa infectada por uma doença contagiosa introduziu-se numa população saudável de 999 pessoas. O mal se espalhou por contato, conseguindo-se deduzir a lei de propagação y’(t) = βyx onde t = tempo é medido em meses, y(t) é o número de pessoas infectadas no instante t e x(t) é o número de pessoas não infectadas no instante t. Temos que responder a pergunta: Quanto tempo será necessário para que a metade da população esteja infectada?

Vamos montar a equação diferencial envolvida, resolvê-la pelo método de separação de variáveis. E então avaliar qual instante de tempo corresponde a y igual a metade da população. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, temos que a lei de propagação é

d y ( t ) d t = β   y ( t )   x ( t )

sendo que podemos escrever uma relação para o número de pessoas saudáveis x ( t ) em termos do número de pessoas infectadas y ( t ) , pois

x ( t ) + y ( t ) = 1000

x ( t ) = 1000 - y ( t )

Então, a equação diferencial fica

d y ( t ) d t = β   y ( t ) ( 1000 -   y ( t ) )

Podemos resolver essa equação diferencial pelo método de separação de variáveis, que consiste em separar cada variável de um lado da equação e integrar:

d y ( t ) y ( t ) ( 1000 -   y ( t ) ) = β   d t

Passo 3

Integrando do lado direito:

β ∫   d t = β   t + C

Integrando do lado esquerdo temos uma integral de frações parciais

∫ d y ( t ) y ( t ) ( 1000 -   y ( t ) ) = A ∫ d y ( t ) y ( t ) + B ∫ d y ( t ) ( 1000 -   y ( t ) )

Resolvendo o sistema, temos que A = B = 1 1000 , então, substituindo e integrando

∫ d y ( t ) y ( t ) ( 1000 -   y ( t ) ) = 1 1000 ( ∫ d y ( t ) y ( t ) + ∫ d y ( t ) ( 1000 -   y ( t ) ) ) = 1 1000 [ l n ( y ( t ) ) - l n ( 1000 - y ( t ) ) ]

Voltando,

1 1000 [ l n ( y ( t ) ) - l n ( 1000 - y ( t ) ) ] = β   t + C

l n ( y ( t ) 1000 - y ( t ) ) = 1000 ( β   t + C )

tomando a exponencial de ambos os lados

y ( t ) 1000 - y ( t ) = e 1000 ( β   t + C ) = C e 1000   β   t

Isolando y ( t )

y ( t ) [ 1 + C e 1000   β   t ] = C 1000 e 1000   β   t

y ( t ) = 1000   C   e 1000   β   t [ 1 + C e 1000   β   t ] = 1000     [ C 1 e - 1000   β   t + 1 ]

Passo 4

Agora vamos utilizar as condições

    y ( 0 ) = 1 e     y ( 12 ) = 100

Lembrando que o tempo é medido em meses. Substituindo

  y ( 0 ) = 1000     [ C 1 + 1 ] = 1

C 1 = 1000 - 1 = 999

e

y ( 12 ) = 1000     [ 999 e - 1000   β   12 + 1 ] = 100

10 - 1 = [ 999 e - 1000   β   12 ]

  9 999 = e - 12000   β

Tomando o l n de ambos os lados

l n (   9 999 ) = - 12000     β

    β = - 1 12000 l n (   9 999 )

Então,

y ( t ) = 1000     [ 999 e 1000 12000 l n (   9 999 ) t + 1 ] = 1000     [ 999 e 1 12 l n (   9 999 ) t + 1 ]

É a expressão para o número de pessoas infectadas em função do tempo.

Passo 5

Agora vamos calcular o tempo para que metade da população seja infectada,

y ( t 1 / 2 ) = 1000 2 = 1000     [ 999 e 1 12 l n (   9 999 ) t 1 / 2 + 1 ]

1 2 = 1   [ 999 e 1 12 l n (   9 999 ) t 1 / 2 + 1 ]

999 2 e 1 12 l n (   9 999 ) t 1 / 2 = 1 2

e 1 12 l n (   9 999 ) t 1 / 2 = 1 999

Tomando o l n de ambos os lados

1 12 l n (   9 999 ) t 1 / 2 = l n ( 1 999 )

Então,

t 1 / 2 = 12 l n 1 999 l n (   1 111 ) = 12 l n ( 999 ) l n ( 111 ) = 12 ( l n ( 9 ( 111 ) ) l n ( 111 ) ) = 12 ( l n ( 111 ) + l n ( 9 ) l n ( 111 ) ) = 12 ( 1 + l n ( 9 ) l n ( 111 ) )

t 1 / 2 = 12 ( 1 + l n ( 9 ) l n ( 111 ) )

Esse é o tempo para metade da população ser infectada.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

t 1 / 2 = 12 ( 1 + l n ( 9 ) l n ( 111 ) ) .

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