Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de EDO Separável

Ver Teoria
Exercício 721234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UFRJ – Cálculo 2 – Exercícios de equações diferenciais separáveis – Mônica Merkle

4. Coloca-se uma barra de metal à temperatura de 100 ° F em um quarto com temperatura constante de 0 ° F . Se, após 20 min, a temperatura da barra é de 50 ° F , determine:

a) O tempo necessário para que a barra chegue à temperatura de 25 ° F .

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão temos uma barra de metal que está 100 ° F dentro de um quarto que está a 0 ° F . Depois de 20   minutos a barra está a 50 ° F . A barra trocou de calor com o ambiente e por isso diminuiu a sua temperatura.

Queremos calcular o tempo necessário para que a barra chegue a 25 ° F .

Pra isso vamos usar a lei do resfriamento de Newton:

d T d t = k T - T m

Onde T é a temperatura do corpo que varia, T m é a temperatura do meio e k é a constante do material.

Passo 2

Resolvendo essa EDO separável:

d T d t = k T - T m

Passando tudo que tem T pra um lado e t para o outro:

d T T - T m = k d t

Integrando dos dois lados:

∫ d T T - T m = ∫ k d t

ln ⁡ ( T - T m ) = k t + C

Passo 3

Nós temos dois pontos, o inicial:

ln ⁡ ( 100 - 0 ) = k 0 + C

C = ln ⁡ 100

E depois de 20 minutos:

ln ⁡ ( 50 - 0 ) = k 20 + ln ⁡ 100

20 k = ln ⁡ 50 - ln ⁡ 100

20 k = ln ⁡ 50 100

20 k = ln ⁡ 1 2

k = 1 20 ln ⁡ 1 2

Então a equação fica:

ln ⁡ ( T ) = 1 20 ln ⁡ 1 2 t + ln ⁡ 100

Passo 4

Pra achar o tempo necessário pra barra chegar a 25 ° F :

ln ⁡ ( 25 ) = 1 20 ln ⁡ 1 2 t + ln ⁡ 100

1 20 ln ⁡ 1 2 t = ln ⁡ 25 - ln ⁡ 100

1 20 ln ⁡ 1 2 t = ln ⁡ 25 100

1 20 ln ⁡ 1 2 t = ln ⁡ 1 4

1 20 ln ⁡ 1 2 t = ln ⁡ 1 2 2

1 20 ln ⁡ 1 2 t = 2 ln ⁡ 1 2

t = 40   m i n

Resposta

40   m i n

Exercícios de Livros Relacionados

De acordo com a Lei da Gravitação Universal de Newton, a força gravitacional em um objeto de massa m que tenha sido lançado verticalmente para cima da superfície da Terra é F = m g R 2 x + R 2 onde x
y ' = x 2 y (a) Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial. Imprima-o e esboce algumas curvas solução sem resolver a equação diferencial.(b) R
Resolva a equação diferencial x y ' = y + x e y x usando a mudança de variáveis v = y x .
Resolva o problema de valor inicial y ' = s e n x s e n y, y 0 = π 2, e trace a solução (se seu SCA fizer gráficos implícitos).
Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du