Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

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Enunciado

UFRJ – Cálculo 2 – Exercícios de equações diferenciais separáveis – Mônica Merkle

8. Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se observa que após 1 hora, houve uma redução de 10% da quantidade inicial. Determine a meia-vida da substância (meia-vida de uma substância radioativa é o tempo que a substância leva para que sua massa decaia à metade da quantidade original).

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos determinar a meia vida da substância.

Com os dados conseguimos montar uma equação diferencial separável e encontrar a meia vida.

Passo 2

Como a substância descreve a uma taxa () proporcional à quantidade presente (), então podemos montar a edo separável:

Botando tudo que tem de um lado e do outro:

Integrando:

Passo 3

Para o instante inicial, temos e :

E uma hora depois temos e

Subtraindo uma equação da outra conseguimos sumir com o :

Usando as propriedades de log:

Passo 4

Como queremos achar o tempo de meia vida, então queremos achar o quando :

Podemos usar qualquer uma das duas equações do início do passo 3. Usando a primeira, que tem os dados do instante inicial:

Subtraindo uma da outra:

Usando a propriedades de log, do lado esquerdo:

Resposta

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