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Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

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Enunciado

UFRJ – Cálculo 2 – Exercícios de equações diferenciais separáveis – Mônica Merkle

5. Coloca-se um corpo com temperatura desconhecida em um quarto mantido à temperatura constante de 30 ° F . Se após 10 min a temperatura do corpo é de 0 ° F e após 20 min é de 15 ° F , determine a temperatura inicial.

Passo 1

Falaa... beleza??

Nessa questão vamos determinar a temperatura inicial do corpo.

Pra isso vamos usar a lei de resfriamento de Newton:

d T d t = k T - T m

Onde T é a temperatura do corpo que varia, T m é a temperatura do meio e k é a constante do material.

Passo 2

Resolvendo essa EDO separável:

d T d t = k T - T m

Passando tudo que tem T pra um lado e t para o outro:

d T T - T m = k d t

Integrando dos dois lados:

∫ d T T - T m = ∫ k d t

ln ⁡ ( T - T m ) = k t + C

Passo 3

Temos que a temperatura do meio é 30 ° F e duas condições:

- após 10 minutos a temperatura do corpo é 0 ° F , então:

ln ⁡ ( 0 - 30 ) = k 10 + C

ln ⁡ - 30 = 10 k + C

- após 20 minutos a temperatura do corpo é 15 ° F , então:

ln ⁡ 15 - 30 = k 20 + C

ln ⁡ - 15 = 20 k + C

Achando k e C :

k = - ln ⁡ 2 10

C = ln ⁡ - 60

Passo 4

Como queremos a temperatura inicial, então é a temperatura quando t = 0 , então:

ln ⁡ ( T - T m ) = k t + C

ln ⁡ T - 30 = ln ⁡ - 60

T - 30 = - 60

T = - 30 ° F

Resposta

- 30   ° F

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