UFRJ, Sem Campus, Cálculo 2, Exercícios de equações diferenciais separáveis, Questão 10
Devido a uma maldição rogada por uma tribo inimiga, os membros de uma certa aldeia são gradualmente impelidos ao assassinato ou suicídio. A taxa de variação da população é de pessoas/mês, quando o número de pessoas é p. Quando a maldição foi rogada a população era de 1600 pessoas. Quando morrerá toda a população da aldeia?
Passo 1
Eaew, tudo certinho contigo?
Temos que Devido a uma maldição rogada por uma tribo inimiga, os membros de uma certa aldeia são gradualmente impelidos ao assassinato ou suicídio. A taxa de variação da população é de pessoas/mês, quando o número de pessoas é p. Quando a maldição foi rogada a população era de 1600 pessoas. Temos que responder a pergunta: Quando morrerá toda a população da aldeia?
Vamos montar a equação diferencial envolvida, resolvê-la pelo método de separação de variáveis. E então avaliar qual instante de tempo corresponde a igual a zero. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, temos que a taxa de variação da população é
Podemos resolver essa equação diferencial pelo método de separação de variáveis, que consiste em separar cada variável de um lado da equação e integrar:
Passo 3
Integrando:
Então,
Passo 4
Agora vamos utilizar as condições
pessoas
Lembrando que o tempo é medido em meses. Substituindo
então,
É a expressão para o número de pessoas da aldeia em função do tempo.
Passo 5
Agora vamos calcular o tempo para que o número de pessoas ser zero,
Então,
Assim,
meses
Esse é o tempo para toda população morrer.
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
meses.