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Exercícios Resolvidos de Introdução ao Plano

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Exercício 21123456789101112131415161718192022

Enunciado

UFRJ; Sem campus; Álgebra Linear 2; P1; 2022.2; Questão 11

Considere os planos definidos por ( x ,   y ,   z )   ∈   R 3 tais

x   +   4   y   +   2   z   =   − 2   e   3   x   +   8   y   +   18   z   =   − 2 . A interseção desses planos pode ser escrita como:

(A) ( - 13,2 , 1 )   + t ( 14 , - 3 , - 1 )  

(B) ( - 13,2 , 1 )   + t ( 15 , - 5 , - 1 )  

(C)   ( - 12,2 , 1 )   + t ( 15 , - 5 , - 1 )  

(D)   ( - 12,2 , 1 )   + t ( 14 , - 3 , - 1 )  

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é encontrar a interseção entre os planos x   +   4   y   +   2   z   =   − 2   e   3   x   +   8   y   +   18   z   =   − 2 .

Vamos nessa!!!

Passo 2

Bem, para calcularmos a interseção entre os planos

x   +   4   y   +   2   z   =   − 2   e   3   x   +   8   y   +   18   z   =   − 2

precisamos resolver o sistema

x   +   4   y   +   2   z   =   − 2  

3 x   +   8   y   +   18   z   =   − 2

Subtraindo duas vezes a primeira equação da segunda, obtemos

x + 14 z = 2

⇒ x = - 14 z - 2

Vamos tornar z a nossa variável livre.

Agora que sabemos o valor de y em função de z vamos substituir essa relação em uma das equações. Vamos substituir na primeira

x   +   4   y   +   2   z   =   − 2  

⇒ - 14 z - 2 + 4 y + 2 z = - 2

⇒ 4 y = 12 z

⇒ y = 3 z

Logo, a solução desse sistema é

( - 2 - 14 z , 3 z , z )

Que é equivalente a

( - 2,0 , 0 ) + z ( - 14,3 , 1 )

como z é qualquer número real. Podemos substituir por - t , com t ∈ R . Fazendo isso, temos:

( - 2,0 , 0 ) + t ( 14 , - 3 , - 1 )

Estamos quase com uma das alternativas. Note que isso é uma reta então, se encontrarmos outro ponto pertencente a essa reta, podemos substituir ele com o ponto ( - 2,0 , 0 )

Ora, fazendo t = - 1 obtemos o ponto

( - 2,0 , 0 ) + t ( 14 , - 3 , - 1 )

⇒ ( - 12,3 , 1 )

Logo, a nossa reta pode ser representada como

( - 12,3 , 1 ) + t ( 14 , - 3 , - 1 )

Valor presente na alternativa d )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

d )

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a equação do plano que passa pelo ponto ( 4 ,0 ,- 3 ) e cujo vetor normal é j + 2 k .
Determine a equação do plano que passa pela origem e é paralelo ao plano 2 x - y + 3 z = 1 .
Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto ( 0 , 1,2 ) , é perpendicular à reta x = 1 + t , y = 1 - t , z = 2 t , e intercepta essa reta.
Quais das quatro retas seguintes são paralelos? Existem duas coincidentes? L 1 : x = 1 + t ,y = t ,z = 2 - 5 t L 2 : x + 1 = y - 2 = 1 - z L 3 :x = 1 + t ,y =4 + t ,z = 1 - t L 4 : r → = 2,1 , - 3 + t
Quais dos quatro planos seguintes são paralelos? Existem dois coincidentes? P 1 : 4 x - 2 y + 6 z = 3 P 2 : 4 x - 2 y - 2 z = 6 P 3 :- 6 x + 3 y - 9 z = 5 P 4 : z = 2 x - y - 3