Considere os planos definidos por ( x ,   y ,   z )   ∈   R 3 tais

x   +   4   y   +   2   z   =   − 2   e   3   x   +   8   y   +   18   z   =   − 2 . A interseção desses planos pode ser escrita como:

(A) ( - 13,2 , 1 )   + t ( 14 , - 3 , - 1 )  

(B) ( - 13,2 , 1 )   + t ( 15 , - 5 , - 1 )  

(C)   ( - 12,2 , 1 )   + t ( 15 , - 5 , - 1 )  

(D)   ( - 12,2 , 1 )   + t ( 14 , - 3 , - 1 )  

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é encontrar a interseção entre os planos x   +   4   y   +   2   z   =   − 2   e   3   x   +   8   y   +   18   z   =   − 2 .

Vamos nessa!!!

Passo 2

Bem, para calcularmos a interseção entre os planos

x   +   4   y   +   2   z   =   − 2   e   3   x   +   8   y   +   18   z   =   − 2

precisamos resolver o sistema

x   +   4   y   +   2   z   =   − 2  

3 x   +   8   y   +   18   z   =   − 2

Subtraindo duas vezes a primeira equação da segunda, obtemos

x + 14 z = 2

⇒ x = - 14 z - 2

Vamos tornar z a nossa variável livre.

Agora que sabemos o valor de y em função de z vamos substituir essa relação em uma das equações. Vamos substituir na primeira

x   +   4   y   +   2   z   =   − 2  

⇒ - 14 z - 2 + 4 y + 2 z = - 2

⇒ 4 y = 12 z

⇒ y = 3 z

Logo, a solução desse sistema é

( - 2 - 14 z , 3 z , z )

Que é equivalente a

( - 2,0 , 0 ) + z ( - 14,3 , 1 )

como z é qualquer número real. Podemos substituir por - t , com t ∈ R . Fazendo isso, temos:

( - 2,0 , 0 ) + t ( 14 , - 3 , - 1 )

Estamos quase com uma das alternativas. Note que isso é uma reta então, se encontrarmos outro ponto pertencente a essa reta, podemos substituir ele com o ponto ( - 2,0 , 0 )

Ora, fazendo t = - 1 obtemos o ponto

( - 2,0 , 0 ) + t ( 14 , - 3 , - 1 )

⇒ ( - 12,3 , 1 )

Logo, a nossa reta pode ser representada como

( - 12,3 , 1 ) + t ( 14 , - 3 , - 1 )

Valor presente na alternativa d )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

d )

Exercícios Resolvidos de Introdução ao Plano

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