Considere os pontos A = ( 1 ,   2 ,   3 ) e B = ( 3 ,   2 ,   2 ) . Determine uma equação para o lugar geométrico dos pontos X que são equidistantes de A e B .

Passo 1

Vamos chamar X de um ponto genérico X = ( x ,   y ,   z ) .

A distância de X até o ponto A é

d A ,   X = x - 1 2 + y - 2 2 + z - 3 2

A distância de X até o ponto B é

d B ,   X = x - 3 2 + y - 2 2 + z - 2 2

Queremos que X tenha a mesma distância até A e até B , então precisamos fazer d A ,   X = d ( B ,   X ) tendeu?

Passo 2

Vamos igualar as distâncias:

x - 1 2 + y - 2 2 + z - 3 2 = x - 3 2 + y - 2 2 + z - 2 2

x - 1 2 + y - 2 2 + z - 3 2 = x - 3 2 + y - 2 2 + z - 2 2

x - 1 2 + z - 3 2 = x - 3 2 + z - 2 2

Abrindo os quadrados:

x 2 - 2 x + 1 + z 2 - 6 z + 9 = x 2 - 6 x + 9 + z 2 - 4 x + 4

4 x - 2 z = 3

Esse é o plano mediador do segmento A B .

Vamos ver um esboço do plano com os pontos equidistantes pra ficar mais claro:

Resposta

4 x - 2 z = 3

Exercícios Resolvidos de Introdução ao Plano

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