Considere os pontos

P = ( 1 ,   2 ,   0 ) e Q = ( 2 ,   1 ,   1 ) ,

a reta r de equações paramétricas

r : 1 + t ,   2 + t ,   2 t ,   t ∈ R

e o plano p suja equação cartesiana é

p : x + 2 y + 3 z = 6

b) Determine a equação cartesiana do plano η que contém a reta r e o ponto Q .

Passo 1

Antes de tudo, vamos observar uma coisa: o ponto P está contido na reta r , pois se t = 0 , temos o ponto P nas equações de r .

Então, o plano que queremos vai ter vetores diretores u = ( 1 ,   1 ,   2 ) (vetor diretor de r ) e P Q = ( 1 ,   - 1 ,   1 ) .

Logo, o vetor normal do nosso plano:

u ∧ P Q = ( 3 ,   1 ,   - 2 )

Então a equação do plano pode ser escrita assim

η : 3 x + y - 2 z + d = 0

Passo 2

Para encontrarmos d na equação do nosso plano, vamos substituir o ponto Q , que está contido nele:

3.2 + 1 - 2.1 + d = 0

d = - 5

Então:

η : 3 x + y - 2 z - 5 = 0

Resposta

η : 3 x + y - 2 z - 5 = 0

Exercícios Resolvidos de Introdução ao Plano

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