Exercícios Resolvidos de Introdução ao Plano

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Enunciado

Dados os pontos e e o vetor

a) Escreva equações paramétricas para a reta que contém e é paralela a .

b) Escreva equações paramétricas para o plano que contém a reta e o ponto .

Passo 1

a) Se a reta é paralela a , isso quer dizer que é o seu vetor diretor. Como já temos um ponto que pertence à reta e seu vetor diretor, podemos escrever a equação paramétrica:

Passo 2

b) Se o plano contém a reta , isso quer dizer que um dos vetores diretores do plano é o diretor da reta, ou seja, .

Agora a fita é a seguinte: o plano contém o ponto e contém a reta . Mas a reta contém o ponto , ou seja, tanto o ponto como o ponto também vão estar nesse plano não é?

Logo, o vetor também vai ser vetor diretor do plano, lembrando que

Então agora que temos um ponto do plano e 2 vetores diretores, podemos escrever sua equação paramétrica:

Resposta

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Determine a equação do plano que passa pelo ponto ( 4 ,0 ,- 3 ) e cujo vetor normal é j + 2 k .

Determine a equação do plano que passa pela origem e é paralelo ao plano 2 x - y + 3 z = 1 .

Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto ( 0 , 1,2 ) , é perpendicular à reta x = 1 + t , y = 1 - t , z = 2 t , e intercepta essa reta.

Quais das quatro retas seguintes são paralelos? Existem duas coincidentes? L 1 : x = 1 + t ,y = t ,z = 2 - 5 t L 2 : x + 1 = y - 2 = 1 - z L 3 :x = 1 + t ,y =4 + t ,z = 1 - t L 4 : r → = 2,1 , - 3 + t

Quais dos quatro planos seguintes são paralelos? Existem dois coincidentes? P 1 : 4 x - 2 y + 6 z = 3 P 2 : 4 x - 2 y - 2 z = 6 P 3 :- 6 x + 3 y - 9 z = 5 P 4 : z = 2 x - y - 3