Exercícios Resolvidos de Introdução ao Plano

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Enunciado

Determinar a equação geral do plano que contém as retas

r 1 : y = 2 x + 1 z = - 3 x - 2 e r 2 : x = - 1 + 2 t y = 4 t z = 3 - 6 t

Passo 1

O enunciado nos dá as equações de duas retas r 1 e r 2 e diz que essas duas retas estão no plano que queremos determinar a equação geral. Ent��o, para achar a equação geral do plano devemos determinar dois vetores paralelos ao plano e um ponto pertencente à ele. Os dois vetores paralelos podemos obter por meio do vetor diretor de cada reta.

Vamos começar descobrindo qual é o vetor diretor de cada reta, beleza?!

Passo 2

A reta r 1   está escrita na forma de equações reduzidas em função de x . Por meio delas conseguimos determinar o jeito genérico dos pontos pertencentes à reta:

x ,   y ,   z = ( x ,   2 x + 1 ,   - 3 x - 2 )

Se encontrarmos 2 pontos da reta r 1 , conseguimos formar o vetor diretor da mesma, assim:

S e   x = 0 → A = x ,   y ,   z = 0 ,   1 ,   - 2

S e   x = 1 → B = x ,   y ,   z = ( 1 ,   3 ,   - 5 )

Assim, o vetor diretor da reta r 1 é:

A B → = B - A = 1 ,   3 ,   - 5 - 0 ,   1 ,   - 2 = ( 1 ,   2 ,   - 3 )

então r 1 = ( 1 ,   2 ,   - 3 ) .

Passo 3

A reta r 2 nos é dada em equações paramétricas pois todas as coordenadas x ,   y e z estão em função de t . Podemos identificar o vetor diretor v →   facilmente nesse caso, basta observar os coeficientes de t :

x = - 1 + 2 t y = 4 t z = 3 - 6 t → v → = a ,   b ,   c = ( 2 ,   4 ,   - 6 )

Assim, v → = ( 2 ,   4 ,   - 6 ) .

Passo 4

Dessa forma, analisando as duas retas temos dois vetores:

A B → = ( 1 ,   2 ,   - 3 )

v → = ( 2 ,   4 ,   - 6 )

Opa!!! Mas, esses dois vetores são paralelos, pois v → = 2 A B → . Nesse caso não poderemos usar os dois para determinar o plano!! Como faremos então?

Bom, temos a seguinte figura que representa a situação que temos:

Se v → e A B → são paralelos, podemos formar um outro vetor que não seja paralelo a eles pegando por exemplo um ponto de r 1 e outro de r 2 . Por exemplo o vetor A C → !

Conseguimos, por meio das suas equações paramétricas, achar um ponto C = ( - 1 ,   0 ,   3 ) . Com o ponto A e C , teríamos o vetor:

A C → = C - A = - 1 ,   0 ,   3 - 0 ,   1 ,   - 2 = ( - 1 ,   - 1 ,   5 )

Assim, escolhendo A B → , entre A B → e v → já que são proporcionais e o vetor A C → , teremos:

A B → = ( 1 ,   2 ,   - 3 )

A C → = ( - 1 ,   - 1 ,   5 )

Bom, pelo menos não são proporcionais!!! Ufa!!

Passo 5

Vamos encontrar agora a equação do plano.

Escolhendo como ponto do plano o ponto B = ( 1 ,   3 ,   - 5 ) e os vetores A B → = ( 1 ,   2 ,   - 3 ) e   A C → = ( - 1 ,   - 1 ,   5 ) , agora sim, podemos fazer o produto misto e encontrar a equação geral do plano. Considerando P = ( x ,   y ,   z ) . Teremos B P → = ( x - 1 ,   y - 3 ,   z + 5 ) .

10 x - 1 + 3 y - 3 - z + 5 - - 2 z + 5 + 3 x - 1 + 5 y - 3 = 0

7 x - 2 y + z + 4 = 0

Pronto!! Chegamos na nossa tão sonhada equação do plano!! hehe

Resposta

7 x - 2 y + z + 4 = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a equação do plano que passa pelo ponto ( 4 ,0 ,- 3 ) e cujo vetor normal é j + 2 k .
Determine a equação do plano que passa pela origem e é paralelo ao plano 2 x - y + 3 z = 1 .
Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto ( 0 , 1,2 ) , é perpendicular à reta x = 1 + t , y = 1 - t , z = 2 t , e intercepta essa reta.
Quais das quatro retas seguintes são paralelos? Existem duas coincidentes? L 1 : x = 1 + t ,y = t ,z = 2 - 5 t L 2 : x + 1 = y - 2 = 1 - z L 3 :x = 1 + t ,y =4 + t ,z = 1 - t L 4 : r → = 2,1 , - 3 + t
Quais dos quatro planos seguintes são paralelos? Existem dois coincidentes? P 1 : 4 x - 2 y + 6 z = 3 P 2 : 4 x - 2 y - 2 z = 6 P 3 :- 6 x + 3 y - 9 z = 5 P 4 : z = 2 x - y - 3