Se b   ∈ R tal que a interseção dos três planos

π 1 :   x   + y   + b   z   =   - 2 ( b + 1 )

π 2 :   x   + b y   +   z   =   b + 2

π 3 :   b x   + y   +   z   =   b

é uma reta, então está correto afirmar que:

  1. 0 ≤ b < 2
  2. - 3 ≤ b < 0
  3. b < - 3
  4. b ≥ 7
  5. 2 ≤ b < 7

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é descobrir para quais os valores de   b A interseção dos três planos formam uma reta. Para isso precisamos calcular primeiro a interseção dos planos em função de b , e depois usar o fato que como a reta pertence aos três planos, então seu vetor diretor será perpendicular aos vetores normais dos planos

Passo 2

Vamos começar calculando a interseção dos três planos. Para isso precisamos resolver o sistema

x   + y   + b   z   =   - 2 ( b + 1 )

x   + b y   +   z   =   b + 2

b x   + y   +   z   =   b

Subtraindo a terceira equação da primeira temos:

x   -   b x     + b   z - z   =   - 2 ( b + 1 )   - b

colocando x e z em evidência

⇒ x ( 1 - b )     - z ( 1 - b ) =   - 3 b   - 2

isolando z

⇒ z =   ( 3 b   + 2 ) / ( 1 - b )   +   x

Passo 3

Agora, vamos subtrair a terceira equação da segunda, então:

x   -   b x     + b   y - y   =   2

colocando x e y em evidência

⇒ x ( 1 - b )     - y ( 1 - b ) =   2

isolando y

⇒ y =   ( - 2 ) / ( 1 - b )   +   x

Pronto, temos y ,   e   z em função de x . Como construímos nossa reta a partir desses dados?

Vamos lembrar que uma reta é da forma ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 )   +   ( a , b , c ) t . Então podemos reescrever as equações que obtemos como:

( x , ( - 2 ) / ( 1 - b )   + x ,   ( 3 b   + 2 ) / ( 1 - b )   +   x )

=   ( 1 , ( - 2 ) / ( 1 - b ) ,   ( 3 b   + 2 ) / ( 1 - b ) )   +   ( 1 ,   1 ,   1 ) t

Ufa, calculamos nossa reta, agora precisamos garantir que ela pertence aos três planos

Passo 4

Para garantir que ela pertence aos três planos, precisamos que seu vetor diretor seja perpendicular aos vetores normais dos planos.

Dado um plano a x + b y + c z + d = 0 qualquer, seu vetor normal é:

( a , b , c )

Então os vetores normais dos nossos planos serão:

( 1,1 , b )

( 1 , b , 1 )

( b , 1,1 )

Mas vamos lembrar que o que queremos é que o vetor diretor da reta seja perpendicular aos vetores normais dos planos.

Passo 5

Mas e aí? Como verificamos se dois vetores são ortogonais?

Usamos o produto interno!!! Então precisamos que:

< ( 1 ,   1 ,   1 ) , ( 1 ,   1 ,   b ) >   =   0

então:

1   + 1   +   b   =   0

⇒ b =   - 2

< ( 1 ,   1 ,   1 ) , ( 1 ,   b ,   1 ) >   =   0

então:

1   + 1   +   b   =   0

⇒ b =   - 2

< ( 1 ,   1 ,   1 ) , ( b ,   1 ,   1 ) >   =   0

então:

1   + 1   +   b   =   0

⇒ b =   - 2

O vetor diretor da nossa reta é perpendicular aos vetores normais dos três planos para b =   - 2

Passo 6

Ou seja, se b =   - 2 a nossa reta está contida nos três planos!!!!

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

b)

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