USP Álgebra Linear 1 P2 2019
Se tal que a interseção dos três planos
é uma reta, então está correto afirmar que:
Passo 1
Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é descobrir para quais os valores de A interseção dos três planos formam uma reta. Para isso precisamos calcular primeiro a interseção dos planos em função de , e depois usar o fato que como a reta pertence aos três planos, então seu vetor diretor será perpendicular aos vetores normais dos planos
Passo 2
Vamos começar calculando a interseção dos três planos. Para isso precisamos resolver o sistema
Subtraindo a terceira equação da primeira temos:
colocando x e z em evidência
isolando z
Passo 3
Agora, vamos subtrair a terceira equação da segunda, então:
colocando x e y em evidência
isolando y
Pronto, temos em função de . Como construímos nossa reta a partir desses dados?
Vamos lembrar que uma reta é da forma . Então podemos reescrever as equações que obtemos como:
Ufa, calculamos nossa reta, agora precisamos garantir que ela pertence aos três planos
Passo 4
Para garantir que ela pertence aos três planos, precisamos que seu vetor diretor seja perpendicular aos vetores normais dos planos.
Dado um plano qualquer, seu vetor normal é:
Então os vetores normais dos nossos planos serão:
Mas vamos lembrar que o que queremos é que o vetor diretor da reta seja perpendicular aos vetores normais dos planos.
Passo 5
Mas e aí? Como verificamos se dois vetores são ortogonais?
Usamos o produto interno!!! Então precisamos que:
então:
então:
então:
O vetor diretor da nossa reta é perpendicular aos vetores normais dos três planos para
Passo 6
Ou seja, se a nossa reta está contida nos três planos!!!!
Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊
Resposta
b)