Determine a equação paramétrica da reta de interseção dos planos ∏ 1 : x + y - z = 0 e ∏ 2 : 2 x - y + 3 z = 1 .

Passo 1

Para encontrarmos a equação da reta que é dada pela interseção de dois planos, precisamos obter a solução do seguinte sistema:

r : x + y - z = 0 2 x - y + 3 z = 1

Portanto, um ponto P = x , y , z pertence a reta se ele satisfaz o sistema acima. Nosso trabalho é obter alguma forma de resolver o sistema acima, isto é, encontrar relações entre as variáveis x , y , z .

Para isto, vamos isolar o x na primeira linha e substituir na segunda. Portanto, obtemos:

r : x = - y + z 2 - y + z - y + 3 z = 1 ⟹ r : x = - y + z - 3 y + 5 z = 1

Isolando o y como função de z na segunda linha, obtemos:

y = - 1 3 + 5 z 3

Continuando, vamos substituir esta relação na primeira equação. Obtemos:

x = - y + z = - - 1 3 + 5 z 3 + z

x = 1 3 - 2 z 3

Portanto, o nosso sistema consiste em:

r : x = 1 3 - 2 z 3 y = - 1 3 + 5 z 3

Passo 2

Para finalizarmos a questão, vamos pegar estas relações e substituir nas coordenadas do nosso ponto P = x , y , z . Portanto,

x , y , z = 1 3 - 2 z 3 , - 1 3 + 5 z 3 , z

Separando o segundo membro em uma soma de vetores (tudo que envolve z separado dos números), temos:

x , y , z = 1 3 , - 1 3 , 0 + - 2 z 3 , 5 z 3 , z

Colocando o z em evidência, temos:

x , y , z = 1 3 , - 1 3 , 0 + z - 2 3 , 5 3 , 1

Chamando o nosso parâmetro livre z de λ (só para ficar semelhante a simbologia utilizada para as equações de reta, temos:

r : x , y , z = 1 3 , - 1 3 , 0 + λ - 2 3 , 5 3 , 1

Passo 3

Mas calma! Muito cuidado nesta hora! A questão pede para obtermos a equação paramétrica da reta, e não a equação vetorial (que foi obtida no final do passo anterior).

A equação paramétrica é obtida ao explicitarmos qual a relação para cada uma das coordenadas. Portanto, vamos somar a primeira coordenada do ponto com a do vetor, e assim por diante.

Desta forma, a equação paramétrica da reta é:

r : x = 1 3 - 2 λ 3 y = - 1 3 + 5 λ 3 z = λ

E agora sim acabamos a questão.

Resposta

r : x = 1 3 - 2 λ 3 y = - 1 3 + 5 λ 3 z = λ

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