Geometria Analítica – UFPE – 2° EE
Determine a equação paramétrica da reta de interseção dos planos e .
Passo 1
Para encontrarmos a equação da reta que é dada pela interseção de dois planos, precisamos obter a solução do seguinte sistema:
Portanto, um ponto pertence a reta se ele satisfaz o sistema acima. Nosso trabalho é obter alguma forma de resolver o sistema acima, isto é, encontrar relações entre as variáveis .
Para isto, vamos isolar o na primeira linha e substituir na segunda. Portanto, obtemos:
Isolando o como função de na segunda linha, obtemos:
Continuando, vamos substituir esta relação na primeira equação. Obtemos:
Portanto, o nosso sistema consiste em:
Passo 2
Para finalizarmos a questão, vamos pegar estas relações e substituir nas coordenadas do nosso ponto Portanto,
Separando o segundo membro em uma soma de vetores (tudo que envolve separado dos números), temos:
Colocando o em evidência, temos:
Chamando o nosso parâmetro livre de (só para ficar semelhante a simbologia utilizada para as equações de reta, temos:
Passo 3
Mas calma! Muito cuidado nesta hora! A questão pede para obtermos a equação paramétrica da reta, e não a equação vetorial (que foi obtida no final do passo anterior).
A equação paramétrica é obtida ao explicitarmos qual a relação para cada uma das coordenadas. Portanto, vamos somar a primeira coordenada do ponto com a do vetor, e assim por diante.
Desta forma, a equação paramétrica da reta é:
E agora sim acabamos a questão.