Em uma base ortonormal são dados os vetores , e .
- Mostre que , , e são vértices de um tetraedro.
- Calcule a área de face .
- Calcule o volume desse tetraedro.
Passo 1
- Isso aí é moleza! Se eles são vértices de um tetraedro, eles não são coplanares, certo? E como a gente faz eles não serem coplanares? É só o produto misto dos vetores não ser igual a zero! Então vamos ver aqui se é ou não é zero.
- A face é formada pelos vetores , e , certo? Mas se liga: a área dessa face triangular é igual à metade da área do pararelogramo formado pelos e ! Sacou? Então vamos achar esses dois vetores.
- O volume do tetraedro a gente já sabe como calcula, né? É igual a do módulo do produto misto dos vetores que compõem ele!
Ou seja, não são coplanares, e por isso, são vértices de um tetraedro!
Passo 2
Primeiro calculamos :
Agora, calculamos :
A área da face vai ser:
Desenvolvendo...
E aí a gente encontra:
Passo 3
Esse produto misto a gente encontrou na letra a!
Simplificando...
Resposta
- São vértices de um tetraedro.