UFPE – Geometria Analítica – 2018.1 – P1 – Questão 4
Considere três vetores , e tais que . Calcule .
Passo 1
Aqui a gente vai usar aquela propriedade que deixa a gente desmembrar o produto misto em somas de produtos mistos, a trilinearidade e a alternância! Primeiro vamos abrir em relação ao segundo termo:
Agora, em cada um deles vamos mexer no terceiro termo:
Então, voltando ali em cima:
Passo 2
Lembra dessa fórmula aqui?
Vamos usar agora em cada um dos termos!
Reparou que os três de baixo tem termos repetidos? Quando o produto misto tem vetores repetidos, ele vale . Sobrou então pra gente só o primeiro termo.
Passo 3
Daí,
Falta a gente trocar e . A cada troca de posição que fazemos, o produto misto inverte o sinal! Então vai ficar:
Acabou!
Resposta
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74. Dados os pontos A 1 , - 2,3 ,B 2 , - 1 , - 4 , C 0,2 , 0 e D - 1 , m , 1 , determinar o valor de m para que seja de 20 unidade de volume o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores A B ,
Use o produto misto para determinar se os pontos P 1,0 , 1 , Q 2,4 , 6 , R 3 , - 1,2 e S 6,2 , 8 pertencem ao mesmo plano.
Calcular o volume de tetraedro de base A B C e vértice P , sendo A 2,0 , 0 ,B 2,4 , 0 ,C 0,3 , 0 eP ( 2 , - 2,9 ) . Qual a altura relativa ao vértice P ?
Representar graficamente o tetraedro ABCD e calcular seu volume, sendo A 1,1 , 0 ,B 6,4 , 1 ,C 2,5 , 0e D ( 0,3 , 3 ) .
Calcular a distância do ponto D ( 2,5 , 2 ) ao plano determinado pelos pontos A 3,0 , 0 ,B 0 , - 3,0eC ( 0,0 , 3 ) .