Considere três vetores , e tais que . Calcule .
Passo 1
Aqui a gente vai usar aquela propriedade que deixa a gente desmembrar o produto misto em somas de produtos mistos, a trilinearidade e a alternância! Primeiro vamos abrir em relação ao segundo termo:
Agora, em cada um deles vamos mexer no terceiro termo:
Então, voltando ali em cima:
Passo 2
Lembra dessa fórmula aqui?
Vamos usar agora em cada um dos termos!
Reparou que os três de baixo tem termos repetidos? Quando o produto misto tem vetores repetidos, ele vale . Sobrou então pra gente só o primeiro termo.
Passo 3
Daí,
Falta a gente trocar e . A cada troca de posição que fazemos, o produto misto inverte o sinal! Então vai ficar:
Acabou!