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Enunciado

USP, 2019.1, PSUB, Q1

Em E 3 , as retas r :     x = y = z + 1 ,     s :         x - y = z + 1 = 0 e t :     x - y - z = 1 + x = 1 determinam, com o plano π : x + y - z + 1 = 0 , um tetraedro T. Então, a altura de T em relação à face contida em π vale

Passo 1

Falaaa, tranquilo?? Para começar essa questão vamos lembrar que o volume de um tetraedro pode ser calculado como:

V A B C D = | ( A B → × A C → ) ∙ A D → |   6

Onde   A B →   e   A C →   estão sobre uma mesma face e o ponto D é o ponto fora da face.

Vamos, portanto, achar quais são esses pontos de interseção das retas (que serão os vértices do tetraedro) e usar que A,B e C estão sobre π , portanto, temos que achar o ponto de interseção das retas com o plano, também.

Passo 2

Chamaremos de D o ponto de interseção das 3 retas.

D é solução de x = y = z + 1                               x - y = z + 1 = 0                 x - y - z = 1 + x = 1

Olhando para as 2 primeiras equações temos que x = y = 0 , na última vemos que z = - 1

Logo D = ( 0,0 , - 1 )

Chamaremos de A o ponto de interseção da reta r com o plano:

r :   x = y = z + 1   e   π :   x + y - z + 1 = 0

Colocando as coordenadas de r em π :

x + x + 1 - x + 1 = 0

x + 2 = 0   ∴ x = - 2

Ou seja x , y , z = x , x , x - 1 = - 2 , - 2 , - 3 = A

Agora vamos chamar de B a interseção da reta s com o plano:

  s :     x - y = z + 1 = 0   e   π :   x + y - z + 1 = 0  

z + 1 = 0   → z = - 1

Colocando na equação do plano:

x + y + 1 + 1 = 0   → x + y = - 2

Daí x + y = - 2   e   x - y = 0   ∴ x = y = - 1 ,   e n t ã o   B = x , y , z = ( - 1 , - 1 , - 1 )

Agora basta achar o ponto C que será a interseção da reta t com o plano   π .

t :     x - y - z = 1 + x = 1   e   π :   x + y - z + 1 = 0    

x = 0

- y - z = 1           y - z + 1 = 0

- 2 z + 1 = 1

z = 0   ∴ y = - 1

C = ( 0 , - 1,0 )

Passo 3

Ou seja, temos tudo que queremos.

D = 0,0 , - 1

A = - 2 , - 2 , - 3

B = - 1 , - 1 , - 1

C = ( 0 , - 1,0 )

Vamos achar os vetores que queremos:

A B → = 1,1 , 2

A C → = 2,1 , 3

A D → = ( 2,2 , 2 )

V A B C D = | ( A B → × A C → ) ∙ A D → |   6

A B → × A C → = 1,1 , 2 × 2,1 , 3 = ( 1,1 , - 1 )  

A B → × A C → ∙ A D → =   1,1 , - 1 ∙ 2,2 , 2 = 4

Logo V A B C D = 4 6 = 2 3

Além disso, V A B C D = Á r e a   d a   b a s e ∙ a l t u r a 3

A área da base é a área entre os vetores A B →   e   A C →

Á r e a = A B → × A C → = 1,1 , - 1 =   3

Ou seja, , V A B C D = 2 3 = 3   ∙   a l t u r a 3   → a l t u r a = 2 3 3

Resposta

Escrever só a resposta aqui quando o problema tiver resposta

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