Exercícios Resolvidos de Produto Misto

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Enunciado

Verificar se são coplanares os seguintes vetores:

u → = 3 ,   - 1 ,   4 ,   v → = 1 ,   0 ,   - 1       e     w → = 2 ,   - 1 ,   0

Passo 1

Neste problema nos é dado três vetores e a pergunta é se esses três vetores são coplanares.

Passo 2

Como eu sei se são coplanares? Ou melhor o que são coplanares? já me esqueci!!

Calma!! Vamos recordar rapidinho!!

Da teoria de “Introdução ao Estudo dos Vetores” vimos que vetores coplanares são aqueles que estão no mesmo plano. Relembrou?!

E sabemos da teoria do produto misto que o valor do produto misto entre os vetores corresponde ao volume do paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores. Okay, isso eu sei, mas o que isso me ajuda?

Ajuda de que se os três vetores são coplanares, então, não tem como formar um paralelepípedo e logo o volume é ZERO.

Ahhh, saquei! Então, quer dizer que basta eu provar que o produto misto entre os vetores u → ,   v → e w → é ZERO???

Isso mesmo, essa é a ideia!!!

Passo 3

Bora calcular então:

Pelo que calculamos, chegamos num resultado diferente de zero, o que indica que os vetores não são coplanares.

Resposta

Os vetores não são coplanares.

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74. Dados os pontos A 1 , - 2,3 ,B 2 , - 1 , - 4 , C 0,2 , 0 e D - 1 , m , 1 , determinar o valor de m para que seja de 20 unidade de volume o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores A B ,
Use o produto misto para determinar se os pontos P 1,0 , 1 , Q 2,4 , 6 , R 3 , - 1,2 e S 6,2 , 8 pertencem ao mesmo plano.
Calcular o volume de tetraedro de base A B C e vértice P , sendo A 2,0 , 0 ,B 2,4 , 0 ,C 0,3 , 0 eP ( 2 , - 2,9 ) . Qual a altura relativa ao vértice P ?
Representar graficamente o tetraedro ABCD e calcular seu volume, sendo A 1,1 , 0 ,B 6,4 , 1 ,C 2,5 , 0e D ( 0,3 , 3 ) .
Calcular a distância do ponto D ( 2,5 , 2 ) ao plano determinado pelos pontos A 3,0 , 0 ,B 0 , - 3,0eC ( 0,0 , 3 ) .