Origem do Exercício
Considere fixada uma orientação em . Sejam três vetores mutuamente ortogonais de norma 1. Considere as seguintes afirmações:
1. é uma base positiva se
2. Apenas uma das bases e é positiva
3. O volume do paralelepípedo definido pelos vetores é igual a
Então
a) Apenas 1 e 2 são verdadeiras
b) Apenas 3 é verdadeira
c) 1, 2 e 3 são verdadeiras
d) Apenas 2 é verdadeira
e) Apenas 1 é verdadeira
f) 1, 2 e 3 são falsas
g) Apenas 2 e 3 são verdadeiras
h) Apenas 1 e 3 são verdadeiras
Passo 1
E aíí pessoal, tudo beleza? Vamos lá analisar o que esse probleminha ta pedindo
Ele deu os vetores e , e disse que eles são ortogonais entre si e têm tamanho igual a 1
Opa! Então de cara já podemos perceber que esses 3 vetores são candidatos a formarem uma base ortonormal né? Hahahah
Mas continuando, o enunciado nos dá 3 afirmações, e pede para vermos quais delas são verdadeiras e quais são falsas
Então, baseado nos 3 vetores, vamos analisar cada uma das afirmações e ver quais procedem, beleza? Vamos lá!
Passo 2
A primeira afirmação diz que “ é uma base positiva se ”
Ou seja, ele ta dizendo que se for o produto vetorial de e , a base é positiva
Assumindo e , continuamos cumprindo o que o enunciado disse. Os 3 vetores são ortogonais e possuem módulo igual a 1. Além disso, teremos que ”.
Dessa forma, temos
Para vermos se essa base é positiva, vamos colocar esses vetores nas linhas de uma matriz e calcular o determinante dela. Se esse determinante for positivo, a afirmação é verdadeira
Calculando o determinante:
Opa, o determinante deu positivo!! Então, a base realmente é positiva 😊 essa primeira afirmação é verdadeira
Passo 3
A segunda afirmação diz que “Apenas uma das bases e é positiva”
Para verificarmos essa afirmação, vamos encontrar a matriz de mudança de base e calcular o seu determinante. Se o determinante for positivo, as duas bases são positivas. Caso contrário, a afirmação é verdadeira.
Para escrevermos a matriz, vamos encontrar os vetores de na base . Por exemplo, o primeiro vetor é . Mas na matriz , ele está em último. Então
Analogamente, temos
Então, a matriz é
Calculando o determinante dela:
Como o determinante deu positivo, as duas bases possuem a mesma orientação: são as duas positivas. Logo, essa segunda afirmação é falsa 😉
Passo 4
Por fim, a terceira afirmação diz que “O volume do paralelepípedo definido pelos vetores é igual a ”
Aqui vamos ter que lembrar que o volume do paralelepípedo é dado pelo produto misto dos vetores que determinam:
Fazendo a distributiva, podemos dividir em vários produtinhos diferentes:
Em um produto misto, se tivermos um vetor repetido, ele vai dar 0 né?? Então já podemos cancelar vários termos :P
Mas , então
E como os 3 vetores são ortonormais, temos , então
Portanto, a afirmação é verdadeira 😊
Como apenas a afirmação 2 é falsa, a alternativa correta é a letra H 😉
Resposta
h) Apenas 1 e 3 são verdadeiras