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Exercícios Resolvidos de Produto Misto

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Enunciado

USP, 2018.1, P2, Q14

Sabendo-se que ABCD é um tetraedro de volume 36 e que os pontos M, N ∈ E 3 são tais que 3 B M → = B D → e 4 D N → = D C → , pode-se concluir que o volume do tetraedro ABMN é igual a:

Passo 1

Falaaa, blz??? Bom, nessa questão para começar a fazer as coisas vamos lembrar aonde queremos chegar. Precisamos achar o volume de um tetraedro e temos uma fórmula para isso.

V A B M N = 1 6   A B → , A M → , A N →  

Além disso, pelo enunciado, sabemos que:

V A B C D = 1 6 A B → , A C → , A D → = 36

Passo 2

A motivação para o que iremos fazer aqui é sair de V A B M N e chegar em algo com V A B C D (o que conhecemos).

Queremos, então, colocar A M →   e   A N → em função de A B → ,     A C →   e   A D →

A M → =   A B → + B M → = A B → + 1 3 B D →

Temos que:

B D → =   B A → +   A D → =   - A B → + A D →

Logo:

A M → = A B → + 1 3 B D → =   A B → + 1 3 - A B → + A D → = 2 3 A B → + 1 3 A D →

Além disso:

A N → =   A D → + D N →

Temos que:

D N → = 1 4 D C → = 1 4 D A → + A C → = 1 4 ( - A D → + A C → )

Substituindo isso:

A N → =   A D → + 1 4 - A D → + A C → = 3 4 A D → + 1 4 A C →

Passo 3

Então vamos usar que:

A B → , A M → , A N → = A B →   ,   2 3 A B → + 1 3 A D → ,   3 4 A D → + 1 4 A C →

Vamos usar a seguinte propriedade de produto misto:

a → + b → , c → , d → = a → , c → , d → + b → , c → , d →  

A B → , A M → , A N → =   A B → ,   2 3 A B → ,   3 4 A D → + 1 4 A C → + A B → ,   1 3 A D → ,   3 4 A D → + 1 4 A C →

Mas A B → ,   2 3 A B → ,   3 4 A D → + 1   4   A C →     = 0

A B → , A M → , A N → =   A B → ,   1 3 A D → ,   3 4 A D → + 1 4 A C → =

= A B → ,   1 3 A D → ,   3 4 A D → + A B → ,   1 3 A D → , 1 4 A C →

Mas A B → ,   1 3 A D → ,   3 4 A D → = 0

Então:

A B → , A M → , A N → = A B → ,   1 3 A D → , 1 4 A C → = 1 12 A B → ,   A D → , A C → = - 1 12 A B → ,   A C → , A D →

Ou seja, V A B M N = 1 6 A B → , A M → , A N → = 1 6 ∙ 1 12 A B → ,   A C → , A D → = 1 12 V A B C D = 36 12 = 3

Foi complicado mas graças a deus saiu a questãozinha

Resposta

V A B M N = 3

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