Exercícios Resolvidos de Produto Misto

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Enunciado

Considere os pontos

A = 1,0 , 1 ,   B = 1,2 , 3 ,   C = 2,1 , 1 ,   D = ( 1,3 , 2 )

e os vetores:

v = A B → ,   w = A C →

(a) Determine se existe um plano que contém os pontos A, B, C e D.

Passo 1

(a) Vamos começar definindo os vetores:

A B → = B - A = 1,2 , 3 - 1,0 , 1 = 0,2 , 2

A C → = C - A = 2,1 , 1 - 1,0 , 1 = 1,1 , 0

A D → = D - A = 1,3 , 2 - 1,0 , 1 = 0,3 , 1

Se existir um único plano que contém os pontos A, B, C e D, então os vetores A B , → A C →   e A D → serão coplanares.

Isso significa que o produto misto entre esses 3 caras será 0.

Vamos ver se isso vai ser verdade calculando o produto misto:

E claramente 4 ≠ 0 .

Então esses 3 vetores não são coplanares e não existe um único plano que contém os pontos A, B, C e D.

Resposta

(a) Não existe um único plano que contém os pontos A, B, C e D.

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74. Dados os pontos A 1 , - 2,3 ,B 2 , - 1 , - 4 , C 0,2 , 0 e D - 1 , m , 1 , determinar o valor de m para que seja de 20 unidade de volume o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores A B ,
Use o produto misto para determinar se os pontos P 1,0 , 1 , Q 2,4 , 6 , R 3 , - 1,2 e S 6,2 , 8 pertencem ao mesmo plano.
Calcular o volume de tetraedro de base A B C e vértice P , sendo A 2,0 , 0 ,B 2,4 , 0 ,C 0,3 , 0 eP ( 2 , - 2,9 ) . Qual a altura relativa ao vértice P ?
Representar graficamente o tetraedro ABCD e calcular seu volume, sendo A 1,1 , 0 ,B 6,4 , 1 ,C 2,5 , 0e D ( 0,3 , 3 ) .
Calcular a distância do ponto D ( 2,5 , 2 ) ao plano determinado pelos pontos A 3,0 , 0 ,B 0 , - 3,0eC ( 0,0 , 3 ) .