Seja uma base ortonormal e, nesta base, considere os vetores , , e . Determine o vetor sabendo que e .
Passo 1
Temos duas informações sobre o nosso vetor :
- O seu produto vetorial com resulta no vetor
- Seu produto misto com e resulta em 6
Vamos montar primeiro o determinante que define o produto vetorial :
Resolvendo esse determinante e escrevendo o vetor em termos de , e , temos
Passo 2
Ok, então igualando o coeficiente de cada letrinha, a gente tem o sistema
Da primeira linha temos que , da segunda linha temos , então nosso vetor pode ser escrito como .
Passo 3
Agora vamos escrever o determinante que define o nosso produto misto:
Resolvendo esse determinante:
Entãoo, o vetor é
Resposta
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74. Dados os pontos A 1 , - 2,3 ,B 2 , - 1 , - 4 , C 0,2 , 0 e D - 1 , m , 1 , determinar o valor de m para que seja de 20 unidade de volume o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores A B ,
Use o produto misto para determinar se os pontos P 1,0 , 1 , Q 2,4 , 6 , R 3 , - 1,2 e S 6,2 , 8 pertencem ao mesmo plano.
Calcular o volume de tetraedro de base A B C e vértice P , sendo A 2,0 , 0 ,B 2,4 , 0 ,C 0,3 , 0 eP ( 2 , - 2,9 ) . Qual a altura relativa ao vértice P ?
Representar graficamente o tetraedro ABCD e calcular seu volume, sendo A 1,1 , 0 ,B 6,4 , 1 ,C 2,5 , 0e D ( 0,3 , 3 ) .
Calcular a distância do ponto D ( 2,5 , 2 ) ao plano determinado pelos pontos A 3,0 , 0 ,B 0 , - 3,0eC ( 0,0 , 3 ) .