Exercícios Resolvidos de Produto Vetorial

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Enunciado

Considere fixada uma orientação de V 3 e seja B = e 1 , e 2 , e 3 uma base positiva de V 3 tal que e 3 = 1 e tal que e 3 seja ortogonal a e 1 e a e 2 . Suponha que e 1 = 2 , e 2 = 4 e que a medida do ângulo entre e 1 e e 2 seja igual a π 6 . Temos que ( e 1 + 2 e 2 ) ∧ 2 e 1 - 3 e 2 é igual a:

a) 20 e 3

b) - 5 e 3

c) - 15 e 3

d) 12 e 3

e) - 28 e 3

Passo 1

E aí pessoal, nesse exercício vamos falar sobre o produto vetorial e suas propriedades 😉

Queremos encontrar ( e 1 + 2 e 2 ) ∧ 2 e 1 - 3 e 2 , onde

- e 3 = 1

- e 3 é ortogonal a e 1 e a e 2 (então ele é paralelo ao produto vetorial de e 1 e e 2 )

- e 1 = 2

- e 2 = 4

- o ângulo entre e 1 e e 2 é π 6

Então vamos lá usar essas informações a nosso favor!!

Passo 2

Queremos encontrar

e 1 + 2 e 2 ∧ 2 e 1 - 3 e 2

Fazendo a distributiva:

e 1 ∧ 2 e 1 - e 1 ∧ 3 e 2 + 2 e 2 ∧ 2 e 1 - 2 e 2 ∧ 3 e 2

Galera, mas o produto vetorial de um vetor com ele mesmo vai ser 0 , então já podemos escrever isso assim:

e 1 + 2 e 2 ∧ 2 e 1 - 3 e 2 = 0 - e 1 ∧ 3 e 2 + 2 e 2 ∧ 2 e 1 - 0

e 1 + 2 e 2 ∧ 2 e 1 - 3 e 2 = - e 1 ∧ 3 e 2 + 2 e 2 ∧ 2 e 1

Colocando a constante pra fora:

e 1 + 2 e 2 ∧ 2 e 1 - 3 e 2 = - 3 e 1 ∧ e 2 + 4 ( e 2 ∧ e 1 )

Sabemos que e 1 ∧ e 2 = - e 2 ∧ e 1 , então

e 1 + 2 e 2 ∧ 2 e 1 - 3 e 2 = - 3 e 1 ∧ e 2 - 4 ( e 1 ∧ e 2 )

e 1 + 2 e 2 ∧ 2 e 1 - 3 e 2 = - 7 e 1 ∧ e 2

Passo 3

Legal, já sabemos que e 1 + 2 e 2 ∧ 2 e 1 - 3 e 2 = - 7 e 1 ∧ e 2

Como e 3 é ortogonal a e 1 e a e 2 , ele é paralelo ao produto vetorial de e 1 e e 2 . Ou seja, existe algum λ > 0 tal que

λ ∙ e 1 ∧ e 2 = e 3

Colocando módulo dos dois lados:

e 3 = λ ∙ e 1 ∧ e 2

e 3 = λ . e 1 ∧ e 2

Showw, e aí sabemos que e 1 ∧ e 2 = e 1 . e 2 . s e n   θ , onde θ = π 6 :

e 3 = λ . e 1 . e 2 . s e n π 6

Substituindo os valores:

1 = λ . 2 . 4 . 1 2

1 = λ . 4

Então:

λ = 1 4

Portanto:

λ ∙ e 1 ∧ e 2 = e 3

1 4 ∙ e 1 ∧ e 2 = e 3

e 1 ∧ e 2 = 4 e 3

Então:

e 1 + 2 e 2 ∧ 2 e 1 - 3 e 2 = - 7 e 1 ∧ e 2 = - 7 . 4 e 3 = - 28 e 3

Logo, a alternativa correta é a letra E

Resposta

e) - 28 e 3

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