USP – Álgebra Linear – P2 2021 – Questão 4
Considere fixada uma orientação de e seja uma base positiva de tal que e tal que seja ortogonal a e a . Suponha que , e que a medida do ângulo entre e seja igual a . Temos que é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
E aí pessoal, nesse exercício vamos falar sobre o produto vetorial e suas propriedades 😉
Queremos encontrar , onde
-
- é ortogonal a e a (então ele é paralelo ao produto vetorial de e )
-
-
- o ângulo entre e é
Então vamos lá usar essas informações a nosso favor!!
Passo 2
Queremos encontrar
Fazendo a distributiva:
Galera, mas o produto vetorial de um vetor com ele mesmo vai ser , então já podemos escrever isso assim:
Colocando a constante pra fora:
Sabemos que , então
Passo 3
Legal, já sabemos que
Como é ortogonal a e a , ele é paralelo ao produto vetorial de e . Ou seja, existe algum tal que
Colocando módulo dos dois lados:
Showw, e aí sabemos que , onde :
Substituindo os valores:
Então:
Portanto:
Então:
Logo, a alternativa correta é a letra E
Resposta
e)