Exercícios Resolvidos de Produto Vetorial

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Enunciado

Se a , b , c ∈ R são tais que x = a . i + b . j + c . k é a solução do sistema

x . i + j + k = 6 x ∧ i + j + 2 k = i + j - k

Então o produto a . b . c é igual a

a) 6

b) -24

c) 36

d) -8

e) 12

Passo 1

Oiii pessoal, tudo beleza?

Se liga, temos um vetor x dado assim:

x = a . i + b . j + c . k

A primeira coisa que vamos fazer pra facilitar nossa vida é escrever isso em formato vetorial normal:

x = a , b , c

E aí esse x cumpre esse sistema

a , b , c . 1,1 , 1 = 6 a , b , c ∧ 1,1 , 2 = 1,1 , - 1

E aí queremos encontrar quanto vale o produto a . b . c

Bom, vamos resolver o produto escalar da primeira equação e o produto vetorial da segunda. E com isso podemos encontrar uma relação entre a , b , c , beleza?

Vamos lá!

Passo 2

Temos esse sistema:

a , b , c . 1,1 , 1 = 6 a , b , c ∧ 1,1 , 2 = 1,1 , - 1

Vamos começar resolvendo o produto escalar da primeira equação:

a , b , c . 1,1 , 1 = 6

a + b + c = 6

Legal, já sabemos algo sobre a , b , c hahahaha

Agora vamos pra segunda equação

Passo 3

Sabemos que a , b , c ∧ 1,1 , 2 = 1,1 , - 1

Esse produto vetorial é calculado por esse determinante:

a , b , c ∧ 1,1 , 2 = i j k a b c 1 1 2 = 1,1 , - 1

Calculando o determinante:

i j k a b c 1 1 2 i j a b 1 1 = 2 b . i + c . j + a . k - b . k - c . i - 2 a . j

Então

a , b , c ∧ 1,1 , 2 = 2 b - c . i + c - 2 a . j + a - b . k

a , b , c ∧ 1,1 , 2 = 2 b - c , c - 2 a , a - b

E queremos que isso seja igual a ( 1,1 , - 1 ) , então

2 b - c , c - 2 a , a - b = 1,1 , - 1

Igualando as coordenadas, temos

2 b - c = 1 c - 2 a = 1 a - b = - 1

Passo 4

Temos esse sistema:

2 b - c = 1 c - 2 a = 1 a - b = - 1

Juntando com a equação do passo 2, temos

2 b - c = 1 c - 2 a = 1 a - b = - 1 a + b + c = 6

Da primeira equação, temos que c = 2 b - 1

Substituindo isso nas outras equações:

2 b - 1 - 2 a = 1 a - b = - 1 a + b + 2 b - 1 = 6

- 2 a + 2 b = 2 a - b = - 1 a + 3 b = 7

As duas primeiras equações estão falando a mesma coisa. Então podemos escrever apenas:

a - b = - 1 a + 3 b = 7

Eitaaa, ficamos só com 2 equações! Vamos subtrair:

- b - 3 b = - 1 - 7

- 4 b = - 8

b = 8 4 = 2

Então

a - b = - 1 → a - 2 = - 1 → a = 1

E também temos que c = 2 b - 1 , então

c = 2.2 - 1 = 3

Logo, encontramos

a = 1 ,   b = 2 ,   c = 3

E, portanto, o produto que procuramos vai ser

a . b . c = 1.2 . 3 = 6

Aeee, a alternativa correta é a letra A!

Resposta

a) 6

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