PUCRIO, Álgebra Linear I, G1-2016.2, Questão 2cd
Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmativa for falsa, exiba um contraexemplo.
c) Se e são vetores não nulos e com a mesma direção, então
d) Se e são vetores do ortogonais e de mesmo módulo, então
Passo 1
c) Se e são vetores não nulos e com a mesma direção, então
Bom, vou tentar pegar dois vetores com mesma direção e ver se satisfaz isso aí:
Lembrando que dois vetores na mesma direção são múltiplos um do outro:
Assim, conseguimos ver que é falsa, basta pegarmos dois vetores tal que .
Passo 2
d) Se e são vetores do ortogonais e de mesmo módulo, então
Esse módulo do produto vetorial nos lembra uma coisa, não lembra?
Ele é igual área do paralelogramo formado pelos dois vetores. Sabemos, porém, que esses vetores são ortogonais, fazendo esse paralelogramo virar um retângulo, e iguais, fazendo o retângulo virar um quadrado!
A área do quadrado é e sabemos que isso é igual ao produto interno do vetor com ele mesmo: .
Assim, a afirmativa é verdadeira
Resposta
c) Falsa
d) Verdadeira