USP, PSUB, 2018, Q10
Seja o plano que contém a reta de equação
E o ponto . Se uma equação geral de é
Então vale
Passo 1
Falaaa, blz??? Vamos primeiro, antes de começar as contas de fato, entender o que a questão nos pede.
Primeiro, vamos lembrar o seguinte conceito, se temos um plano, podemos afirmar que é um vetor normal ao plano. Então olhando para o que temos na questão, ele basicamente tá pedindo para acharmos o vetor normal ao plano.
Vamos tentar melhorar essa equação da reta para nos ajudar:
Subtraindo as equações:
Logo, a equação fica:
Ou seja
Porém veja que ambas equações são iguais, ou seja, temos que:
Chamando , podemos dizer que a solução é , logo:
Daqui, conseguimos tirar, por conta da equação parametrizada, que é paralelo a
Passo 2
Agora fica um pouco melhorar para atacar o problema...
Bom, vamos lembrar que o enunciado nos diz que o plano contém essa reta, ou seja, ele contém o ponto e o vetor tá no plano.
Lembra que queríamos achar um vetor normal ao plano?? Veja que agora temos um vetor do plano e dois pontos do plano (A e B), ou seja, com esses 2 pontos conseguimos achar outro vetor do plano. Com dois vetores de , podemos usar produto vetorial para achar um terceiro vetor perpendicular aos 2, ou seja, perpendicular ao plano.
Passo 3
Ou seja, temos que:
Conseguimos achar perpendicular a
Porém, veja que se colocarmos esse vetor na equação do plano dada, ficaríamos com:
Ou seja, mesmo sendo perpendicular ao plano, ele não é o vetor que queremos, podemos simplesmente tomar esse funciona quando colocado na equação, ou seja:
E finalmente acabou a questão, esse problema é o tipo de problema que possui os passos simples, porém precisa-se de alguma maturidade para enxergar que passos devemos fazer, ou seja, uma ótima questão para fazermos, mas ainda temos mais boas questões, bora para a próxima??
Resposta
Letra D