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Exercícios Resolvidos de Produto Vetorial

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Enunciado

Álgebra linear I, USP, P2, 2016, Questão 8

Considere as seguintes afirmações:

( I ) para quaisquer v → , w → , z → ∈ V 3 e quaisquer λ ,   μ ∈ R , vale que:

v → , λ v → + w → ,   z → + μ w → = v → , w → , z → ;

( I I ) para quaisquer v → , w → , z → ∈ V 3 , vale que:

v → ∧ w → ∧ z → =   v → ∧ w → ∧ z →

I I I para quaisquer v → , w → , z → ∈ V 3 , vale que:

v → , w → , z → = v →   w →   z →  

Assinale a alternativa correta:

a apenas as afirmações ( I ) e ( I I I ) são verdadeiras

( b ) apenas a afirmação ( I I I ) é verdadeira

( c ) apenas a afirmação ( I I ) é verdadeira

d apenas as afirmações ( I ) e ( I I ) são verdadeiras

( b ) apenas a afirmação ( I ) é verdadeira

Passo 1

Falaaa, beleza?? Bora lá para mais um probleminha dessa prova, agora envolvendo produto misto

Vamos analisar cada alternativa separadamente, para olhar ( I ) vamos lembrar algumas propriedades de produto misto:

i )   v → + u → ,   z → ,   w → = v → , z → , w → + u → , z → , w →

i i )   α v → , z → , w → = α v → , z → , w →

E podemos aplicar essas propriedades para qualquer dos carinhas, bora aplicar essas propriedades, primeiro usando a soma no meio:

v → , λ v → + w → ,   z → + μ w → = v → , λ v → ,   z → + μ w → + v → , w → ,   z → + μ w → =

Aplicando a soma no último

= v → , λ v → , z → + v → , λ v → , μ w → + v → , w → ,   z → + v → , w → ,   μ w →

Agora aplicando i i :

= λ v → , v → , z → + λ μ v → , v → , w → + v → , w → ,   z → + μ v → , w → ,   w →

Porém, vamos lembrar que o produto misto pode ser dado pelo determinante da matriz formada pelos vetores (coordenadas nas linhas), ou seja se olharmos para:

v → , v → , z → ,     v → , v → , w → ,     v → , w → ,   w →

Veja que teremos um determinante com linhas iguais, ou seja, será zero. Por isso temos que:

v → , λ v → + w → ,   z → + μ w → = v → , w → , z →

E, portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 2

Agora vamos analisar a segunda afirmação:

v → ∧ w → ∧ z → =   v → ∧ w → ∧ z →

Nessa aqui podemos tomar um exemplo e já nos mostrará que é falsa, bora fazer isso:

v → = 1,0 , 0 ,     w → = 0,1 , 0 ,     z → = ( 1 , 1 , 0 )

Veja que v → ∧ w → = ( 0,0 , 1 ) , basta pensar que o resultado disso deve ser perpendicular aos outros 2, nesse caso podemos pegar o terceiro vetor da base canônica, que é perpendicular aos outros 2 vetores.

Dai:

v → ∧ w → ∧ z → = - 1,1 , 0

Além disso, temos que w → ∧ z → = 0,0 , - 1 e por isso

v → ∧ w → ∧ z → = 0,1 , 0

E por isso já mostra que v → ∧ w → ∧ z → ≠   v → ∧ w → ∧ z →

Passo 3

Vamos olhar para essa última afirmação agora:

v → , w → , z → = v →   w →   z →  

Usaremos que:

v → , w → , z → = v → ∙ ( w → × z → )

Aplicando o produto interno:

= v →   ( w → × z → ) cos ⁡ θ    

Usando o valor de produto vetorial:

v → , w → , z → =   v →   w →   z →   c o s θ   s e n α

Ou seja, para a afirmação estar correta, bastaria tomarmos c o s θ   s e n α = 1

Mas para que isso ocorra precisaríamos que c o s θ = s e n α = 1 ou c o s θ = s e n α = - 1

Porém, basta pensarmos que s e n α é o seno do ângulo entre w →   e   z → , ou seja, bastaria tomarmos esses vetores não perpendiculares que já daria que a afirmação é falsa.

Resposta

Letra E

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