Base de subespaços vetoriais, Soma da dimensão de subespaços
Assinale a alternativa VERDADEIRA:
A dimensão do espaço das matrizes simétricas é .
As matrizes formam uma base para o espaço as matrizes .
Se e são subespaços vetoriais de de dimensão então o único vetor em comum é o vetor .
Se os vetores são linearmente dependentes então os vetores , , são linearmente independentes.
Passo 1
Vamos letra por letra!
As matrizes simétricas tem essa cara:
Bom, como podemos perceber, a dimensão do espaço das matrizes simétricas é é e não ;)
Passo 2
Bom, o espaço das matrizes tem dimensão , e nós temos termos na base. Agora resta saber se eles são . Pra ficar mais fácil de verificar vamos fazer a seguinte transformação:
Então as matrizes passam a ser os vetores . Agora jogamos nas linhas de uma matriz e escalonamos:
Pronto. Nenhuma linha zerou então os vetores são . Logo, aquela é de fato uma base para o espaço das matrizes . Então essa é a verdadeira. Mesmo assim, vamos ver porque as outras são falsas.
Passo 3
Ta, pensa comigo. e são espaços de dimensão . E o único vetor em comum, ou a interceção deles é o , que no caso tem dimensão . Bom, isso quer dizer que a soma deles gera dimensões né?? Lembre-se da fórmula:
Ora, mas se eles estão contidos no a soma deles NUNCA pode gerar dimensões, então essa é falsa!
Passo 4
Po os vetores são . Então absolutamente nenhuma combinação que você fizer deles vai conseguir gerar vetores ! NUNCA. Então essa é falsa também.
Resposta
Letra