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Exercícios Resolvidos de Soma da Dimensão de Subespaços

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Exercício 17123456789101112131415161819

Enunciado

Em R 4 , seja W 1 = g e r [ v 1 ,   v 2 ] , onde v 1 = ( 2 ,   - 2 ,   1 ,   0 ) e v 2 = ( 2 ,   - 1 ,   - 1 ,   1 ) e seja W 2 o subespaço vetorial dado pelo conjunto solução do seguinte sistema linear homogêneo:

- x 1 + x 2 + x 3 = 0 x 2 - x 4 = 0

a) Encontre um sistema linear homogêneo nas variáveis x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   x 4 que tenha W 1 como conjunto solução. Justifique.

b) Mostre que R 4 = W 1 ⊕ W 2 . Justifique.

c) Dado v = ( 1 ,   0 ,   0 ,   0 ) , encontre w 1 ∈ W 1 e w 2 ∈ W 2 tais que v = w 1 + w 2 .

Passo 1

a) Vamos supor um vetor v = ( x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   x 4 ) .

Esse vetor só vai pertencer a W 1 = g e r [ v 1 ,   v 2 ] se existirem números reais λ 1 e λ 2 tais que v = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 , ou seeeja:

x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   x 4 = ( 2 λ 1 + 2 λ 2 ,   - 2 λ 1 - λ 2 ,   λ 1 - λ 2 ,   λ 2 )

Então, W 1 vai ser formado por vetores x 1 ,   x 2 ,   x 3 e x 4 tal que o sistema a seguir admita solução:

* :   x 1 = 2 λ 1 + 2 λ 2 x 2 = - 2 λ 1 - λ 2 x 3 = λ 1 - λ 2 x 4 = λ 2

Passo 2

Para sabermos quando o sistema * vai admitir solução, temos que escalonar a sua matriz ampliada:

2 2 x 1 - 2 - 1 x 2 1 - 1 x 3 0 1 x 4

Primeiro vamos fazer L 2 → L 2 + L 1

2 2 x 1 0 1 x 2 + x 1 1 - 1 x 3 0 1 x 4

Hmm, beleza, agora L 1 → L 1 - 2 L 3

0 4 x 1 - 2 x 3 0 1 x 2 + x 1 1 - 1 x 3 0 1 x 4

Agora L 1 → L 4 - 4 L 4

0 0 x 1 - 2 x 3 - 4 x 4 0 1 x 2 + x 1 1 - 1 x 3 0 1 x 4

L 2 → L 2 - L 4 :

0 0 x 1 - 2 x 3 - 4 x 4 0 0 x 2 + x 1 - x 4 1 - 1 x 3 0 1 x 4

Agora, finalmente, vamos trocar L 1 com L 3 e L 2 com L 4 :

1 - 1 x 3 0 1 x 4 0 0 x 1 - 2 x 3 - 4 x 4 0 0 x 2 + x 1 - x 4

Então, esse sistema * só vai ter solução se:

# :   x 1 - 2 x 3 - 4 x 4 = 0 x 1 + x 2 - x 4 = 0

Então o W 1 vai ser o conjunto solução desse sisteminha # aí em cima :)

Passo 3

b) Nesse caso, nosso primeiro passo é mostrar que W 1 + W 2 é uma soma direta!! Pra fazer isso, temos que provar que W 1 ∩ W 2 = { 0 ,   0 ,   0 ,   0 } ok?

A intersecção de W 1 com W 2 vai ser dada juntando o sistema que define W 1 ( # ) e o sistema que define W 2 (que foi dado no enunciado). Então fica esse sistemão:

@ :   x 1 - 2 x 3 - 4 x 4 = 0 x 1 + x 2 - x 4 = 0 - x 1 + x 2 + x 3 = 0 x 2 - x 4 = 0

Como @ é um sistema homogêneo, pra mostrar que sua solução é ( 0 ,   0 ,   0 ,   0 ) , precisamos apenas mostrar que a matriz dos coeficientes de @ tem posto 4!!

Passo 4

Vamos escalonar a matriz do sistema @ :

1 0 - 2 - 4 1 1 0 - 1 - 1 1 1 0 0 1 0 - 1

L 2 → L 2 - L 1

1 0 - 2 - 4 0 1 2 3 - 1 1 1 0 0 1 0 - 1

Agora L 3 → L 3 + L 1

1 0 - 2 - 4 0 1 2 3 0 1 - 1 - 4 0 1 0 - 1

Vamos trocar L 2 com L 4 ?

1 0 - 2 - 4 0 1 0 - 1 0 1 - 1 - 4 0 1 2 3

Então vamos fazer L 3 → L 3 - L 2

1 0 - 2 - 4 0 1 0 - 1 0 0 - 1 - 3 0 1 2 3

Agora L 4 → L 4 - L 2

1 0 - 2 - 4 0 1 0 - 1 0 0 - 1 - 3 0 0 2 4

E por fimm, L 4 → L 4 + 2 L 3

1 0 - 2 - 4 0 1 0 - 1 0 0 - 1 - 3 0 0 0 - 2

Daí, percebemos que a matriz dos coeficientes de @ tem posto 4, e portanto, W 1 ∩ W 2 = { 0 ,   0 ,   0 ,   0 } .

Passo 5

Agora temos que calcular a dimensão de W 1 e de W 2 .

Podemos observar que v 1 e v 2 são L.I, certo? Então, { v 1 ,   v 2 } é uma base para W 1 e daí segue que d i m W 1 = 2

Também sabemos que o sistema que define W 2 possui duas variáveis livres (tipo x 3 e x 4 ), então temos que d i m W 2 = 2 .

Logo, dim ⁡ W 1 ⊕ W 2 = d i m W 1 + d i m W 2 = 4 e como W 1 ⊕ W 2 é um subespaço vetorial de R 4 , concluímos que W 1 ⊕ W 2 = R 4 .

Passo 6

c) Vamos começar encontrando uma base para W 2 a partir do sistema dado no enunciado. Vamos utilizar x 3 e x 4 como as variáveis livres, nesse caso, brincando com o sisteminha do enunciado, vamos ter que W 2 = x 3 + x 4 ,   x 4 ,   x 3 ,   x 4 : x 3 ,   x 4 ∈ R .

Podemos escrever dessa maneira:

W 2 = x 3 ,   0 ,   x 3 ,   0 + ( x 4 ,   x 4 ,   0 , x 4 ) : x 3 ,   x 4 ∈ R

W 2 = x 3 1 ,   0 ,   1 ,   0 + x 4 ( 1 ,   1 ,   0 , 1 ) : x 3 ,   x 4 ∈ R = g e r [ 1 ,   0 ,   1 ,   0 ,   1 ,   1 ,   0 ,   1 ]

Então, seja v 3 = ( 1 ,   0 ,   1 ,   0 ) e v 4 = ( 1 ,   1 ,   0 ,   1 ) , o conjunto { v 3 ,   v 4 } é uma base para W 2 .

Como W 1 ⊕ W 2 = R 4 , temos que { v 1 ,   v 2 ,   v 3 ,   v 4 } é uma base para R 4 .

Seja os coeficientes a 1 ,   a 2 ,   a 3 e a 4 tais que

v = a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 + a 4 v 4   ( % )

v = a 1 ( 2 ,   - 2 ,   1 ,   0 ) + a 2 ( 2 ,   - 1 ,   - 1 ,   1 ) + a 3 ( 1 ,   0 ,   1 ,   0 ) + a 4 ( 1 ,   1 ,   0 ,   1 )   ( % )

teremos que w 1 = a 1 v 1 + a 2 v 2 (pois v 1 e v 2 estão em W 1 ) e w 2 = a 3 v 3 + a 4 v 4 (pois v 3 e v 4 estão em W 2 ).

Substituindo v por ( 1 ,   0 ,   0 ,   0 ) em % e fazendo as multiplicações dos vetores pelos coeficientes, teremos que

1 ,   0 ,   0 ,   0 = ( 2 a 1 + 2 a 2 + a 3 + a 4 ,   - 2 a 1 - a 2 + a 4 ,   a 1 - a 2 + a 3 ,   a 2 + a 4 )

Isso equivale ao sistema:

2 a 1 + 2 a 2 + a 3 + a 4 = 1 - 2 a 1 - a 2 + a 4 = 0 a 1 - a 2 + a 3 = 0 a 2 + a 4 = 0

Da quarta equação, temos que a 2 = - a 4 .

Substituindo isso na segunda equação, temos que a 1 = a 4 .

Substituindo na terceira equação o que já conhecemos, temos que a 3 = - 2 a 4 .

Então nossa primeira equação vai ficar 2 a 4 + 2 - a 4 + - 2 a 4 + a 4 = 1 , ou seja, a 4 = - 1 .

Então, a 1 = - 1 , a 2 = 1 e a 3 = 2 .

Logo:

w 1 = - 1 v 1 + 1 v 2 = ( 0 ,   1 ,   - 2 ,   1 )

w 2 = 2 v 3 + - 1 v 4 = ( 1 ,   - 1 ,   2 ,   - 1 )

Resposta

a)   x 1 - 2 x 3 - 4 x 4 = 0 x 1 + x 2 - x 4 = 0

b) Demonstração.

c) w 1 = - 1 v 1 + 1 v 2 = ( 0 ,   1 ,   - 2 ,   1 )

w 2 = 2 v 3 + - 1 v 4 = ( 1 ,   - 1 ,   2 ,   - 1 )

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