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Exercícios Resolvidos de Soma da Dimensão de Subespaços

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Enunciado

USP, Álgebra Linear 2, 2020.1, P1, Q9

Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e sejam W 1 e W 2 subespaços de V . Está correto afirmar que:

Escolha uma opção:

  1. dim ⁡ W 1 + dim ⁡ W 2 = dim ⁡ W 1 + W 2 - dim ⁡ ( W 1 ∩ W 2 )
  2. Se { v 1 ,   … ,   v r } é uma base de W 1 e { u 1 ,   … ,   u q } é uma base de W 2 , então { v 1 ,   … ,   v r ,   u 1 ,   … ,   u q } é uma base de W 1 + W 2 .
  3. Se { v 1 ,   … ,   v r } é uma base de W 1 e w ∈ W 2 , mas w ∉ W 1 , então { v 1 ,   … ,   v r ,   w } é linearmente independente.
  4. W 1 ∪ W 2 é um subespaço de V .
  5. dim 2 ⁡ W 1 ∩ W 2 > dim ⁡ W 1 + dim ⁡ W 2 .

Passo 1

Faaala, pessoal! Repare que a resposta correta é a letra c , uma vez que partindo de { v 1 ,   … ,   v r } base de W 1 e w ∈ W 2 , mas w ∉ W 1 , temos que na combinação linear nula

α 1 v 1 + … + α r v r + α r + 1 w = 0

se α r + 1 ≠ 0 , podemos dividir a combinação por este fator tal que:

w = - α 1 α r + 1 v 1 - … - α r α r + 1 v r

Como v i ⊂ W 1 qualquer elemento formado pela combinação linear de seus elementos pertence a W 1 , assim, w ∈ W 1 . Como isto contradiz o enunciado, temos que α r + 1 = 0 , assim:

α 1 v 1 + … + α r v r = 0

E como { v i } é base de W 1 , temos que o conjunto é L.I. e α i = 0 , com i = 1 ,   … ,   r + 1 , garantindo que { v 1 ,   … ,   v r ,   w } é L.I.

Passo 2

Para as outras letras alternativas, basta fornecer contraexemplos:

  1. Tome W 1 = W 2 = W =   t 1,1     t ∈ R } , logo W 1 + W 2 = W e W 1 ∩ W 2 = W . Assim:

    2. dim ⁡ W 1 + dim ⁡ W 2 = 2 dim ⁡ W = 2

    dim ⁡ W 1 + W 2 - dim ⁡ W 1 ∩ W 2 = dim ⁡ W - dim ⁡ W = 0

    Distintos.

  2. Diz que dado dim ⁡ W 1 = r , dim W 2 = q , teremos dim ⁡ W 1 + W 2 = r + q . Contudo, para W 1 = W 2 = R subespaço, R + R = R e dim ⁡ W 1 + W 2 = 1 < 2 = dim ⁡ W 1 + dim ⁡ W 2 .

    3. d . W 1 = { t 1,0   :   t ∈ R } e W 2 = { t 0,1   :   t ∈ R } , contudo 1,1 = 1 1,0 + 1 0,1 ∉ W 1 ∪ W 2 , mesmo com 0,1 ,   1,0 ∈ W 1 ∪ W 2 . Assim, a união não é fechada para a soma e não é um subespaço.

    1. Para os eixos dados anteriormente, i.e., W 1 = { t 1,0   :   t ∈ R } e W 2 = { t 0,1   :   t ∈ R } , temos:

    dim 2 ⁡ W 1 ∩ W 2 = dim 2 ⁡ 0,0 = 0 2 = 0

    dim ⁡ W 1 + dim ⁡ W 2 = 1 + 1 = 2

    Logo, dim 2 ⁡ W 1 ∩ W 2 < dim ⁡ W 1 + dim ⁡ W 2 , contrariando a afirmação.

    Resposta

  3. Se { v 1 ,   … ,   v r } é uma base de W 1 e w ∈ W 2 , mas w ∉ W 1 , então { v 1 ,   … ,   v r ,   w } é linearmente independente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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