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Exercícios Resolvidos de Soma da Dimensão de Subespaços

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Exercício 21345678910111213141516171819

Enunciado

Sabendo que

H = x , y , z , w ∈ R 4   t 1,0 , 1,0 + s 1,1 , 1,1 , ∀ t , s ∈ R }

S = x , y , z , w ∈ R 4   r 0,1 , 0,1 , ∀ r ∈ R }

Sem fazer muitas contas, qual d i m ⁡ ( H ∩ S ) ?

Passo 1

Bom, vamos usar aquela fórmula linda pra ajudar a gente:

dim ⁡ H + S = dim ⁡ H + dim ⁡ S - dim ⁡ H ∩ S

Vamos achar os geradores de H + S , que é muito mais fácil!

H + S = s p a n 1,0 , 1,0 , 1,1 , 1,1 , 0,1 , 0,1

Este conjunto novo formado por esses três vetores é L D , pois ( 1 , 1,1 , 1 ) é a soma dos outros dois.

Passo 2

Assim, basta eliminá-lo e o conjunto torna-se L I e, portanto, dim ⁡ H + S = 2 .

Sabendo que dim ⁡ H = 2 e dim ⁡ S = 1 , basta usar o teorema e aplicar a fórmula!

dim ⁡ H + S = dim ⁡ H + dim ⁡ S - dim ⁡ H ∩ S

2 = 2 + 1 - dim ⁡ H ∩ S

dim ⁡ H ∩ S = 1

Resposta

dim ⁡ H ∩ S = 1

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