Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Soma da Dimensão de Subespaços

Ver Teoria
Exercício 12123456789101113141516171819

Enunciado

USP, Álgebra Linear 2, 2020.1, P1, Q14

O valor de λ para que o subespaço de M 2 ( R ) gerado por

1 3 4 0 , 1 - 1 2 3 , 2 4 5 1 , 1 + λ - 2 λ 3 λ - 2

Tenha dimensão igual a 3 é:

Escolha uma opção:

  1. 26 / 11
  2. - 10 / 27
  3. 43 / 9
  4. 19 / 12
  5. - 5 / 12
  6. - 17 / 29

Passo 1

Faaaala, galerinha. Vamos utilizar o conceito de posto de matriz para garantir as condições do enunciado. Considere a matriz cujas colunas são as coordenadas de cada uma das matrizes do conjunto gerador:

A = 1 1 2 1 + λ 3 - 1 4 - 2 4 2 5 λ 0 3 1 3 λ - 2

Aplicando operações elementares – soma, multiplicação por escalar ou troca de linhas – obtemos uma matriz semelhante, de mesmo posto. Se garantirmos que o posto desta última é 3, teremos que o maior número de colunas L.I. em A é 3. Consequentemente, o maior número de matrizes L.I. no conjunto será 3

Assim, escalonemos A :

1 1 2 1 + λ 3 - 1 4 - 2 4 2 5 λ 0 3 1 3 λ - 2 L 2 ' → L 2 - 3 L 1 ~ L 3 ' → L 3 - 4 L 1 1 1 2 1 + λ 0 - 4 - 2 - 5 - 3 λ 0 - 2 - 3 - 4 - 3 λ 0 3 1 3 λ - 2 L 2 ' → - L 2 - L 4 ~  

~ 1 1 2 1 + λ 0 1 1 7 0 - 2 - 3 - 4 - 3 λ 0 3 1 3 λ - 2 L 3 ' → L 3 + 2 L 2 ~ L 4 ' → L 4 - 3 L 2   1 1 2 1 + λ 0 1 1 7 0 0 - 1 10 - 3 λ 0 0 - 2 3 λ - 23 L 3 ' → - L 3 ~     L 4 ' → L 4 - 2 L 3

~ 1 1 2 1 + λ 0 1 1 7 0 0 1 3 λ - 10 0 0 0 9 λ - 4 3

Para que o posto, número de pivôs não-nulos da matriz escalonada seja 3 ,devemos ter:

9 λ - 43 = 0 ⇒ λ = 43 / 9

Resposta

c. 43 / 9

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões m e n , respectivamente. Considere o espaço vetorial U × V cuja adição é dada por u 1 , v 1 + u 2 , v 2 = u 1 + u 2 , v 1 + v 2 E a multiplicação por
Sendo W o sub-espaço do exercício 1 e U o sub-espaço do R 4 gerado por 1 ,2 ,1 ,3 e ( 3 ,1 ,- 1 ,4 ) , determinar uma base e a dimensão de U + W e de U ∩ W .
Suponha que { u 1 , … ,u n } é uma base de um espaço vetorial. Mostrar que { u 1 ,u 1 + u 2 , … ,u 1 + u 2 + … + u n } também é uma base desse espaço.
Determinar a dimensão dos seguintes subespaços de M n ( R ) :Subespaço da matrizes simétricas;Subespaço das matrizes antissimétricas.Subespaço das matrizes A tais que A = 2 A t .Subespaço das matrizes
No espaço vetorial R 3 consideremos os seguintes sub-espaços: U = x ,y ,z x = 0 , V = x ,y ,z y - 2 z = 0e W = 1 ,1 ,0 ,0 ,0 ,2 . Determinar uma base e a dimensão de cada um dos seguintes sub-espaços: