O valor de λ para que o subespaço de M 2 ( R ) gerado por

1 3 4 0 , 1 - 1 2 3 , 2 4 5 1 , 1 + λ - 2 λ 3 λ - 2

Tenha dimensão igual a 3 é:

Escolha uma opção:

  1. 26 / 11
  2. - 10 / 27
  3. 43 / 9
  4. 19 / 12
  5. - 5 / 12
  6. - 17 / 29

Passo 1

Faaaala, galerinha. Vamos utilizar o conceito de posto de matriz para garantir as condições do enunciado. Considere a matriz cujas colunas são as coordenadas de cada uma das matrizes do conjunto gerador:

A = 1 1 2 1 + λ 3 - 1 4 - 2 4 2 5 λ 0 3 1 3 λ - 2

Aplicando operações elementares – soma, multiplicação por escalar ou troca de linhas – obtemos uma matriz semelhante, de mesmo posto. Se garantirmos que o posto desta última é 3, teremos que o maior número de colunas L.I. em A é 3. Consequentemente, o maior número de matrizes L.I. no conjunto será 3

Assim, escalonemos A :

1 1 2 1 + λ 3 - 1 4 - 2 4 2 5 λ 0 3 1 3 λ - 2 L 2 ' → L 2 - 3 L 1 ~ L 3 ' → L 3 - 4 L 1 1 1 2 1 + λ 0 - 4 - 2 - 5 - 3 λ 0 - 2 - 3 - 4 - 3 λ 0 3 1 3 λ - 2 L 2 ' → - L 2 - L 4 ~  

~ 1 1 2 1 + λ 0 1 1 7 0 - 2 - 3 - 4 - 3 λ 0 3 1 3 λ - 2 L 3 ' → L 3 + 2 L 2 ~ L 4 ' → L 4 - 3 L 2   1 1 2 1 + λ 0 1 1 7 0 0 - 1 10 - 3 λ 0 0 - 2 3 λ - 23 L 3 ' → - L 3 ~     L 4 ' → L 4 - 2 L 3

~ 1 1 2 1 + λ 0 1 1 7 0 0 1 3 λ - 10 0 0 0 9 λ - 4 3

Para que o posto, número de pivôs não-nulos da matriz escalonada seja 3 ,devemos ter:

9 λ - 43 = 0 ⇒ λ = 43 / 9

Resposta

c. 43 / 9

Exercícios Resolvidos de Soma da Dimensão de Subespaços

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