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Exercícios Resolvidos de Soma da Dimensão de Subespaços

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Exercício 18123456789101112131415161719

Enunciado

A2 T9

Considere o espaço vetorial P 3 formado pelos polinômios na variável t com grau no máximo 3 .

c Julgue verdadeira ou falsa a seguinte afirmação: Quaisquer que sejam os subespaços vetoriais W 1 , W 2 de P 3 satisfazendo dim ⁡ W 1 = dim ⁡ W 2 = 3 , podemos afirmar que a interseção W 1 ∩ W 2 certamente conterá dois polinômios linearmente independentes.

Passo 1

c Pela fórmula da soma da dimensão de subespaços, temos:

dim ⁡ W 1 + W 2 = dim ⁡ W 1 + dim ⁡ W 2 - dim ⁡ W 1 ∩ W 2

Como W 1 + W 2 é um subespaço vetorial de P 3 (a soma de subespaços sempre será um subespaço), temos que:

dim ⁡ W 1 + W 2 ≤ dim ⁡ P 3 = 4

Como sabemos que dim ⁡ W 1 = dim ⁡ W 2 = 3 , ficamos com:

dim ⁡ W 1 ∩ W 2 = dim ⁡ W 1 + dim ⁡ W 2 - dim ⁡ W 1 + W 2

dim ⁡ W 1 ∩ W 2 = 6 - dim ⁡ W 1 + W 2 ⏟ ≤ 4

dim ⁡ W 1 ∩ W 2 ≥ 2

Com isso podemos afirmar que a interseção W 1 ∩ W 2 certamente conterá dois polinômios linearmente independentes. Pode conter mais, mas certamente sempre conterá dois! A afirmação é verdadeira.

Resposta

c Verdadeira.

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Sendo W o sub-espaço do exercício 1 e U o sub-espaço do R 4 gerado por 1 ,2 ,1 ,3 e ( 3 ,1 ,- 1 ,4 ) , determinar uma base e a dimensão de U + W e de U ∩ W .
Suponha que { u 1 , … ,u n } é uma base de um espaço vetorial. Mostrar que { u 1 ,u 1 + u 2 , … ,u 1 + u 2 + … + u n } também é uma base desse espaço.
Determinar a dimensão dos seguintes subespaços de M n ( R ) :Subespaço da matrizes simétricas;Subespaço das matrizes antissimétricas.Subespaço das matrizes A tais que A = 2 A t .Subespaço das matrizes
No espaço vetorial R 3 consideremos os seguintes sub-espaços: U = x ,y ,z x = 0 , V = x ,y ,z y - 2 z = 0e W = 1 ,1 ,0 ,0 ,0 ,2 . Determinar uma base e a dimensão de cada um dos seguintes sub-espaços: