Considere o espaço vetorial P 3 formado pelos polinômios na variável t com grau no máximo 3 .

c Julgue verdadeira ou falsa a seguinte afirmação: Quaisquer que sejam os subespaços vetoriais W 1 , W 2 de P 3 satisfazendo dim ⁡ W 1 = dim ⁡ W 2 = 3 , podemos afirmar que a interseção W 1 ∩ W 2 certamente conterá dois polinômios linearmente independentes.

Passo 1

c Pela fórmula da soma da dimensão de subespaços, temos:

dim ⁡ W 1 + W 2 = dim ⁡ W 1 + dim ⁡ W 2 - dim ⁡ W 1 ∩ W 2

Como W 1 + W 2 é um subespaço vetorial de P 3 (a soma de subespaços sempre será um subespaço), temos que:

dim ⁡ W 1 + W 2 ≤ dim ⁡ P 3 = 4

Como sabemos que dim ⁡ W 1 = dim ⁡ W 2 = 3 , ficamos com:

dim ⁡ W 1 ∩ W 2 = dim ⁡ W 1 + dim ⁡ W 2 - dim ⁡ W 1 + W 2

dim ⁡ W 1 ∩ W 2 = 6 - dim ⁡ W 1 + W 2 ⏟ ≤ 4

dim ⁡ W 1 ∩ W 2 ≥ 2

Com isso podemos afirmar que a interseção W 1 ∩ W 2 certamente conterá dois polinômios linearmente independentes. Pode conter mais, mas certamente sempre conterá dois! A afirmação é verdadeira.

Resposta

c Verdadeira.

Exercícios Resolvidos de Soma da Dimensão de Subespaços

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