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Exercícios Resolvidos de Soma da Dimensão de Subespaços

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Exercício 16123456789101112131415171819

Enunciado

Seja W ⊆ M 2 × 2 R o subespaço vetorial W = a b c d :   a + b + 2 c - d = 0 .

a) Encontre uma base β w para W .

b) Encontre uma base β M 2 × 2 para M 2 × 2 R que contenha β w .

c) Mostre que A = a b c d :   a + b + 2 c - d = 1 é um subespaço afim de M 2 × 2 R e indique o subespaço vetorial ao qual A é paralelo.

Passo 1

a) Se escrevermos d em função de a , b e c , podemos escrever W assim:

W = a b c a + b + 2 c :   a ,   b ,   c   ∈ R

Beleza, agora vamos escrever essa matriz como a soma de 3 matrizes, assim:

W = a 0 0 a + 0 b 0 b + 0 0 c 2 c :   a ,   b ,   c   ∈ R

Colocando os coeficientes em evidência:

W = a 1 0 0 1 + b 0 1 0 1 + c 0 0 1 2 :   a ,   b ,   c   ∈ R = g e r [ A 1 ,   A 2 ,   A 3 ]

Sendo que A 1 = 1 0 0 1 ,   A 2 = 0 1 0 1 e A 3 = 0 0 1 2 .

Passo 2

Pra dizermos que β w = ( A 1 ,   A 2 ,   A 3 ) é base de W , só precisamos agora provar que eles são L.I:

a 1 0 0 1 + b 0 1 0 1 + c 0 0 1 2 = 0 0 0 0

a b c a + b + 2 c = 0 0 0 0

A solução dessa equação matricial é a = b = c = 0 , logo, as matrizes A 1 ,   A 2 e A 3 são L.I. e β w é uma base de W .

Passo 3

b) M 2 × 2 R possui dimensão 4, enquanto β w possui dimensão 3, então precisamos de mais uma matriz C na base β w tal que A 1 ,   A 2 ,   A 3 e C sejam L.I.

Seja uma matriz C = a b c d que não pertença a W , então { A 1 ,   A 2 ,   A 3 ,   C } será um conjunto L.I.

Para que C não pertença a W , deveremos ter que a + b + 2 c - d ≠ 0 .

Podemos atribuir valores quaisquer que satisfaçam essa equação, por exemplo, a = b = c = 0 e d = 1 .

Nesse caso, β M 2 × 2 = 1 0 0 1 ,   0 1 0 1 ,   0 0 1 2 ,   0 0 0 1   é uma base de M 2 × 2 R .

Passo 4

c) Aqui a gente pode fazer a mesma coisa que fizemos na letra a, vamos primeiro isolar o d , aí fica assim:

A = a b c a + b + 2 c - 1 :   a ,   b ,   c   ∈ R

Agora vamos decompor essa matriz em uma soma de 4 matrizes:

A = a 0 0 a + 0 b 0 b + 0 0 c 2 c + 0 0 0 - 1 :   a ,   b ,   c   ∈ R

A = a 1 0 0 1 + b 0 1 0 1 + c 0 0 1 2 + 0 0 0 - 1 :   a ,   b ,   c   ∈ R

Opa, esse conjunto A é a mesma coisa que g e r A 1 ,   A 2 ,   A 3 + 0 0 0 - 1 então:

A = W + 0 0 0 - 1

Portanto, A é um subespaço afim de M 2 × 2 R e é paralelo ao subespaço W , pois é múltiplo dele.

Resposta

a) β w = 1 0 0 1 ,   0 1 0 1 ,   0 0 1 2    

b) β M 2 × 2 = 1 0 0 1 ,   0 1 0 1 ,   0 0 1 2 ,   0 0 0 1  

c) Demonstração.

A é paralelo a W .

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