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Exercícios Resolvidos de Soma da Dimensão de Subespaços

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Exercício 31245678910111213141516171819

Enunciado

Sendo:

H = A ∈ M 2 × 2 a 11 = 2 a 22 }

S = B ∈ M 2 × 2 a 12 = 0 }

Calcule uma base para H ∩ S , d i m ⁡ ( H ∩ S ) e d i m ⁡ ( H + S ) .

Passo 1

Neste caso, é mais prático achar a interseção. Para definirmos quais serão seus elementos, e depois uma base, precisamos que estes elementos satisfaçam as duas condições de H e S ao mesmo tempo. Portanto, seria uma matriz 2 × 2 do tipo:

2 d 0 c d = c 0 0 1 0 + d 2 0 0 1

Assim, uma possível base α para H ∩ S é α = 0 0 1 0 , 2 0 0 1 e dim ⁡ H ∩ S = 2 .

Passo 2

Agora, vamos achar uma base para H e S e daí calcular suas dimensões.

Para H temos que

2 d b c d = b 0 1 0 0 +   c 0 0 1 0 + d 2 0 0 1

e dim ⁡ H = 3 .

Para S temos

a 0 c d = a 1 0 0 0 + c 0 0 1 0 + d 0 0 0 1

e dim ⁡ S = 3 .

Passo 3

Assim, usando a fórmula da dimensão da soma temos:

dim ⁡ H + S = dim ⁡ H + dim ⁡ S - dim ⁡ H ∩ S

dim ⁡ H + S = 3 + 3 - 2 = 4

Resposta

α = 0 0 1 0 , 2 0 0 1

dim ⁡ H ∩ S = 2

dim ⁡ H + S = 4

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