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Exercícios Resolvidos de Soma da Dimensão de Subespaços

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Enunciado

A2 T9

Seja W um espaço vetorial de dimensão 4 e sejam U e V subespaços de W tais que U ∩ V = 0 . Assinale a afirmativa VERDADEIRA:

( a ) U e V devem ambos ter dimensão estritamente menor que 4

( b ) U e V podem ambos ter dimensão 3

( c ) U e V devem ambos ter dimensão 2

( d ) U e V podem ambos ter dimensão 2

Passo 1

a Tá, uma coisa importante pra matar essa primeira alternativa é lembrar que todo espaço vetorial tem sempre dois subespaços vetoriais: ele mesmo e um formado pelo vetor nulo!

Ou seja, basta definirmos:

U = W

V = 0

Se isso acontece, U tem dimensão igual a 4 (dimensão de W ) e U ∩ V = 0 então estamos obedecendo o enunciado. Logo, não necessariamente ambos têm dimensão estritamente menor que 4 .

Passo 2

Beleza, pra resolver as alternativas daqui em diante vamos usar as propriedades da soma de subespaços. Bom, sabemos que a soma de dois subespaços sempre será um subespaço. Isso quer dizer que U + V é subespaço de W . Logo, temos que

dim ⁡ U + V ≤ dim ⁡ W = 4

E lembra da nossa fórmula mágica para a dimensão da soma de subespaços?

dim ⁡ U + V = dim ⁡ U + dim ⁡ V - dim ⁡ U ∩ V

Só que sabemos que U ∩ V = 0 , logo, dim ⁡ U ∩ V = 0 , então, juntando todas essas informações:

dim ⁡ U + V = dim ⁡ U + dim ⁡ V ≤ 4

Agora podemos continuar!

Passo 3

b Se U e V tiverem ambos dimensão 3 , teremos:

dim ⁡ U + V = dim ⁡ U + dim ⁡ V = 3 + 3 = 6

Po, mas sabemos que:

dim ⁡ U + dim ⁡ V ≤ 4

Como 6 é maior que 4 essa é falsa.

Passo 4

c Se U e V tiverem ambos dimensão 2 , teremos:

dim ⁡ U + V = dim ⁡ U + dim ⁡ V = 2 + 2 = 4

De fato, 4 ≤ 4 então isso é perfeitamente possível. O problema aqui é aquela palavra devem na alternativa. Se eles devem ter dimensão 2 , então eles não podem ter nenhuma outra! Mas o que impede que U e V sejam retas? Um deles pode até mesmo ter dimensão 4 como vimos na letra a ! Então essa ta errada.

Passo 5

d Essa aqui é quase igual a c só que sem aquele devem que deixou ela errada. Aqui a alternativa fala que U e V podem ambos ter dimensão 2 , e podem sim como vimos na letra c .

Resposta

Letra ( d )

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