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Exercícios Resolvidos de Soma da Dimensão de Subespaços

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Enunciado

A2 T7 T8 T9

Considere o espaço vetorial R 4 e o subespaço V 1 = 0 , 2,0 , 1 , 1,0 , 0,1 , 0 , - 1,1 , 0 , 2 , - 3,1 , 1 .

a Detemine uma base para V 1 .

b Encontre um subespaço V 2 tal que tenhamos a soma direta V 1 ⨁ V 2 = R 4 .

c Seja V 3 = 1 , 1,1 , - 1 , 1 , - 1 , - 1,3 . Determine uma base para V 1 ∩ V 3 . E calcule a dim ⁡ V 1 + V 3 .

Passo 1

a Para encontrarmos uma base para V 1 é só pegarmos os geradores de V 1 e escalonarmos:

1 0 0 1 0 2 0 1 0 - 1 1 0 2 - 3 1 1 → L 4 ← L 4 - 2 L 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 - 1 1 0 0 - 3 1 - 1 → L 3 ← L 3 + L 2 2 L 4 ← L 4 + 3 L 2 2 1 0 0 1 0 2 0 1 0 0 1 1 2 0 0 1 1 2 → L 4 ← L 4 - l 3 1 0 0 1 0 2 0 1 0 0 1 1 2 0 0 0 0

Logo, uma base para V 1 é:

β V 1 = 1,0 , 0,1 , 0,2 , 0,1 , 0,0 , 2,1

Passo 2

b Para que a soma seja direta, precisamos que V 1 ∩ V 2 = 0 → . Dessa forma teremos:

dim ⁡ V 1 + V 2 = dim ⁡ V 1 + dim ⁡ V 2 = dim ⁡ R 4 = 4

Como dim ⁡ V 1 = 3 pois a base que encontramos no Passo 1 tem 3 elementos,

dim ⁡ V 2 = 1

Então queremos achar um vetor v que seja L I com relação aos 3 vetores da base β V 1 (não pertença a V 1 ). Dessa forma, a interseção deles será apenas a origem.

Primeiro vamos ver o que v precisa para pertencer a V 1 . Se v ∈ V 1 :

v = a 1,0 , 0,1 + b 0,2 , 0,1 + c 0,0 , 2,1

v = a , 2 b , 2 c , a + b + c

Então basta definirmos v = 0 , 0,0 , 1 que já garantimos que ele não pertence a V 1 , pois para a = b = c = 0 , teríamos a quarta coordenada a + b + c = 0 , mas definimos ela como 1 ! Logo, V 2 pode ser a reta que passa na origem na direção do vetor 0 , 0,0 , 1 .

Passo 3

c Como vimos no Passo 2, para um vetor v pertencer a V 1 ele precisa ter essa forma:

v = a , 2 b , 2 c , a + b + c

Agora vamos ver o que ele precisa para fazer parte de V 3 . Ele nos deu dois vetores geradores de V 3 . Como os dois são L I , temos uma base para V 3 . Mas, pra ficar mais fácil pra gente vamos somar os dois e teremos uma nova base para V 3 :

1,1 , 1 , - 1 , 2,0 , 0,2

Se um vetor pertence a V 3 então ele pode ser escrito como combinação dos vetores dessa base:

v = d 1,1 , 1 , - 1 + e 2,0 , 0,2

v = d + 2 e , d , d , - d + 2 e

Igualando:

a , 2 b , 2 c , a + b + c = d + 2 e , d , d , - d + 2 e

a = d + 2 e 2 b = d 2 c = d a + b + c = - d + 2 e         I I I I I I I V

Substituindo I I e I I I em I V :

a + d 2 + d 2 = - d + 2 e

a = - 2 d + 2 e       V

Fazendo I - V :

a - a = d + 2 e + 2 d - 2 e

3 d = 0

d = 0

Isso implica que:

b = c = 0

a = 2 e

Então temos:

v = a , 2 b , 2 c , a + b + c = 2 e , 0,0 , 2 e = 2 e 1,0 , 0,1

Então uma base para V 1 ∩ V 3 é:

β V 1 ∩ V 3 = 1,0 , 0,1

Passo 4

Como nossa base tem um elemento, dim ⁡ V 1 ∩ V 3 = 1 , então:

dim ⁡ V 1 + V 3 = dim ⁡ V 1 + dim ⁡ V 3 - dim ⁡ V 1 ∩ V 3

dim ⁡ V 1 + V 3 = 3 + 2 - 1 = 4

Resposta

a β V 1 = 1,0 , 0,1 , 0,2 , 0,1 , 0,0 , 2,1

b V 2 pode ser a reta que passa na origem na direção do vetor 0,0 , 0,1

c β V 1 ∩ V 3 = 1,0 , 0,1 ; dim ⁡ V 1 + V 3 = 4

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