Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Soma da Dimensão de Subespaços

Ver Teoria
Exercício 11123456789101213141516171819

Enunciado

USP, Álgebra Linear 2, 2020.1, P1, Q1

Considere os subespaços de M 2 ( R ) definidos por

S 1 = { A ∈ M 2 R   :   A t = A   e   t r A = 0 }

E

S 2 = 0 2 1 3 , 2 - 1 1 - 1

Em que A t denota a transposta de matriz A e t r ( A ) denota a soma das entradas na diagonal principal da matriz A . Temos que a dimensão de S 1 + S 2 é igual a:

Escolha uma opção:

  1. 2
  2. 3
  3. 1
  4. 4
  5. 0

Passo 1

Faaaala, pessoal. Após definirmos um conjunto gerador para S 1 teremos que a união dos geradores de S 1 e S 2 gera o subespaço soma. Determinando o menor número de elementos L.I. dessa união temos sua dimensão.

Primeiramente, veja que todos os elementos de S 1 são dados por:

A = a b b - a

= a 1 0 0 - 1 + b 0 1 1 0

Logo,

S 1 = 1 0 0 - 1 , 0 1 1 0

Passo 2

Segundamente, para todo elemento A = B + C ∈ S 1 + S 2 ,   com B ∈ S 1 e C ∈ S 2 , temos:

A =   a 1 0 0 - 1 + b 0 1 1 0 + c 0 2 1 3 + d 2 - 1 1 - 1

Logo,

S 1 + S 2 = 1 0 0 - 1 , 0 1 1 0 , 0 2 1 3 , 2 - 1 1 - 1

Para verificar se são L.I. temos que provar que a combinação linear nula só tem a solução trivial a = b = c = d = 0 :

a 1 0 0 - 1 + b 0 1 1 0 + c 0 2 1 3 + d 2 - 1 1 - 1 = 0 0 0 0

Se em cada posição da matriz tomarmos a equação correspondente resulta:

a + 2 d = 0 b + 2 c - d = 0 b + c + d = 0 - a + 3 c - d = 0

Neste momento, cabe ressaltar que se o determinante da matriz de coeficientes for diferente de 0 , o sistema será possível e determinado, i.e., só haveria a solução trivial. Assim, testando-o:

1 0 0 2 0 1 2 - 1 0 1 1 1 - 1 0 3 - 1 L 4 ' → L 4 + L 1 =   1 0 0 2 0 1 2 - 1 0 1 1 1 0 0 3 1 L a p l a c e   =  

= 1 ⋅ - 1 1 + 1 1 2 - 1 1 1 1 0 3 1 L 2 ' → L 2 - L 1 =   1 2 - 1 0 - 1 2 0 3 1 L a p l a c e =  

= 1 ⋅ - 1 1 + 1 - 1 2 3 1 = - 7 ≠ 0

Donde resulta que o conjunto gerador:

1 0 0 - 1 , 0 1 1 0 , 0 2 1 3 , 2 - 1 1 - 1  

de S 1 + S 2 é L.I. E, portanto, dim ⁡   ( S 1 + S 2 ) = 4 .

Resposta

d. 4

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões m e n , respectivamente. Considere o espaço vetorial U × V cuja adição é dada por u 1 , v 1 + u 2 , v 2 = u 1 + u 2 , v 1 + v 2 E a multiplicação por
Sendo W o sub-espaço do exercício 1 e U o sub-espaço do R 4 gerado por 1 ,2 ,1 ,3 e ( 3 ,1 ,- 1 ,4 ) , determinar uma base e a dimensão de U + W e de U ∩ W .
Suponha que { u 1 , … ,u n } é uma base de um espaço vetorial. Mostrar que { u 1 ,u 1 + u 2 , … ,u 1 + u 2 + … + u n } também é uma base desse espaço.
Determinar a dimensão dos seguintes subespaços de M n ( R ) :Subespaço da matrizes simétricas;Subespaço das matrizes antissimétricas.Subespaço das matrizes A tais que A = 2 A t .Subespaço das matrizes
No espaço vetorial R 3 consideremos os seguintes sub-espaços: U = x ,y ,z x = 0 , V = x ,y ,z y - 2 z = 0e W = 1 ,1 ,0 ,0 ,0 ,2 . Determinar uma base e a dimensão de cada um dos seguintes sub-espaços: