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Exercícios Resolvidos de Soma da Dimensão de Subespaços

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Enunciado

UFPE, Álgebra Linear, 1 a EE -2017.1, Questão 5

Considere os seguintes subespaços W 1 e W 2 do espaço vetorial P 2 ( R ) :

W 1 = [ 1 + x + x 2 ,   1 + 2 x + 2 x 2 ] e W 2 = [ x - x 2 ,   1 + x + 2 x 2 ]

a) Determine uma base para o subespaço interseção W 1 ∩ W 2 .

b) Determine uma base para o subespaço soma W 1 + W 2 .

c) Qual é a dim ⁡ ( W 1 + W 2 ) ? W 1 + W 2 é soma direta?

Passo 1

(a)

Vou botar esses conjuntos geradores em função da base β = { 1 , x , x 2 } e tentar achar uma relação para as variáveis que favorecem os dois conjuntos ao mesmo tempo:

W 1 = 1,1 , 1 , 1,2 , 2 = t 1,1 , 1 + v 1,2 , 2 = t + v , t + 2 v , t + 2 v

W 2 = 0 , 1 , - 1 , 1,1 , 2 = u 0 , 1,1 + w 1,1 , 2 = w , u + w , - u + 2 u

Passo 2

Tenho a partir disso que achei aí em cima que:

x , y , z = t + v , t + 2 v , t + 2 v

e

x , y , z = w , u + w , - u + 2 u

Assim, da primeira relação:

x = t + v y = t + 2 v z = t + 2 v ⟹ y = z

x , y , z = ( x , y , y )

E da segunda:

x = w y = u + w ⟹ u = y - x z = - u + 2 w ⟹ z = - y - x + 2 x = 3 x - y

x , y , z = x , y , 3 x - y

Passo 3

Os vetores da interseção tem que estar de acordo com essas duas expresses que achamos com os sistemas:

x , y , z = ( x , y , y )

x , y , z = x , y , 3 x - y

Vamos fazer outro sistema igualando essas coordenadas:

x = x y = y y = 3 x - y ⟹ y = 3 x 2

x , y , z = x , 3 x 2 , 3 x 2 = x 1 , 3 2 , 3 2

Aí é só substituir naquela base que definimos lá em cima:

β = { 1 , x , x 2 }

Ou seja, fazer o caminho contrário do que fizemos antes, agora passando de vetor para polinômio e não de polinômio para vetor:

α W 1 ∩ W 2 = 1 + 3 2 x + 3 2 x 2

Passo 4

(b)

Para achar W 1 + W 2 é só juntar as bases dos dois e escalonar para retirar algum polinômio que faça o conjunto ser L D , se existir.

Vamos primeiramente passar para a forma de vetores da mesma forma que fizemos na letra (a):

W 1 + W 2 = 1,1 , 1 , 1,2 , 2 , 0,1 , - 1 , ( 1,1 , 2 )

Passo 5

Agora bora escalonar isso aí, botando esses vetores nas linhas de uma matriz:

1 1 0 1 1 2 1 1 1 2 - 1 2 → L 2 → L 2 - L 1 L 4 → L 4 - L 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 - 1 1 → L 3 → L 3 - L 2 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 - 2 1

1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 - 2 1 → L 4 → L 4 + 1 2 L 3 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 - 2 0

Pronto, a base vai ser:

W 1 + W 2 = 1,1 , 1 , 0,1 , 1 , 0,0 , - 2

Passando de volta para polinômios:

W 1 + W 2 = 1 + x + x 2 , x + x 2 , - 2 x 2

Passo 6

(c)

A dimensão da soma de subespaços vai ser a soma das dimensões dos subepaços menos a dimensão da intercessão entre eles:

dim ⁡ W 1 + W 2 = dim ⁡ W 1 + dim ⁡ W 2 - dim ⁡ ( W 1 ∩ W 2 )

Como W 1 e W 2 ambos tem 2 polinômios na sua base, a dimensão deles vai ser 2.

Já a base da intercessão, que achamos na letra (a) é composta apenas por um polinômio, assim, a dimensão vai ser 1!

Substituindo esses valores:

dim ⁡ W 1 + W 2 = 2 + 2 - 1 = 3

Podemos chegar a essa conclusão pelo fato da base de W 1 + W 2 que achamos em (b) ter 3 polinômios também.

Não vai ser soma direta pois para isso dim ⁡ ( W 1 ∩ W 2 ) = 0 e vimos que na verdade a dimensão é 1!

Resposta

(a)   α W 1 ∩ W 2 = 1 + 3 2 x + 3 2 x 2

(b)   W 1 + W 2 = 1 + x + x 2 , x + x 2 , - 2 x 2

(c) dim ⁡ W 1 + W 2 = 3 e não é soma direta

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