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Exercícios Resolvidos de Soma da Dimensão de Subespaços

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Enunciado

UFPE, Álgebra Linear, 1 a EE – 2017.2, Questão 03

Considere os seguintes subespaços U e W do espaço vetorial M 2 × 2 R :

U = x y z t ∈   M 2 × 2 R ; x + y + t = 0   e   y + z = 0 e

W = 1 1 2 1 , 0 1 2 2

  1. Determine uma base para o subespaço U .
  2. O vetor 3 1 - 2 - 1 pertence a W ?
  3. Determine uma base para o subespaço interseção U ∩ W
  4. Determine uma base para o subespaço soma U + W

Passo 1

a)

Vamos achar a base de U = x y z t ∈   M 2 × 2 R ; x + y + t = 0   e   y + z = 0

Vou achar uma relação entre os elementos com essas equações:

x + y + t = 0 ⟹ x = - t + z y + z = 0 ⟹ y = - z

Substituindo a matriz:

- t + z - z z t = t - 1 0 0 1 + z 1 - 1 1 0

Essas duas matrizes que achamos são as geradoras do espaço, agora, para ser base, precisamos que elas formem um conjunto L I .   Conseguimos ver que eles não são múltiplos, logo, formam conjunto L I   e são base.

β = - 1 0 0 1 , 1 - 1 1 0

Passo 2

b)

Para   3 1 - 2 - 1 pertencer a W preciso conseguir escrever ele como combinação linear dos vetores da base de W , ou seja, 1 1 2 1 , 0 1 2 2 .

3 1 - 2 - 1 = a 1 1 2 1 + b 0 1 2 2

Igualando elemento por elemento:

3 = a 1 = a + b - 2 = 2 a + 2 b - 1 = a + 2 b

Temos o valor de a   vamos substituir nas outras equações e ver se dar certo.

1 = a + b ⟹ b = - 2 - 2 = 2 a + 2 b ⟹ b = - 4 - 1 = a + 2 b ⟹ b = - 2

Temos 2 valores de b ‼   Isso mostra que nosso sistema é impossível então essa matriz não pertence ao espaço W .

Passo 3

c)

Queremos uma base para o conjunto U ∩ W .

Vamos supor que tenho uma matriz v   que pertence a essa interseção, logo, v ∈ U e v ∈ W . Ela tem que poder ser escrita como C L   das matrizes das bases de ambos os espaços:

v = a - 1 0 0 1 + b 1 - 1 1 0

v = c 1 1 2 1 + d 0 1 2 2

Então...

a - 1 0 0 1 + b 1 - 1 1 0 = c 1 1 2 1 + d 0 1 2 2

Igualando elemento por elemento:

- a + b = c ⟹ b = c + a   ( I ) - b = c + d ⟹ b = - c - d   ( I I ) b = 2 c + 2 d   ( I I I ) a = c + 2 d   ( I V )

Substituindo I I em I I I :

- c - d = 2 c + 2 d ⟹ c = - d

Substituindo em I V :

a = - d + 2 d ⟹ a = d

E finalmente, substituindo em I :

b = - d + d ⟹ b = 0

Então

v = a - 1 0 0 1 + 0 1 - 1 1 0 = a - 1 0 0 1

A base então vai ser composta por esse vetor gerador aí: β = - 1 0 0 1

Passo 4

d)

Já a base de U + W   é mais tranquilo, basta juntarmos os elementos da base de U   com os elementos da base de W   e verificar se o conjunto é L I . Se não for, tirar os vetores que são C L .

Beleza, parou com a baboseira, mãos a obra:

U + W = - 1 0 0 1 , 1 - 1 1 0 , 1 1 2 1 , 0 1 2 2

Agora é só ver se algum elemento é C L dos outros, botando eles na forma de linhas e escalonando:

- 1 0 1 - 1 0 1 1 0 1       1 0       1 2 1 2 2 → L 2 → L 2 + L 1 L 3 → L 3 + L 1 - 1 0 0 - 1 0 1 1 1 0       1 0       1 2 2 2 2 → L 3 → L 3 + L 2 L 4 → L 4 + L 2 - 1 0 0 - 1 0 1 1 1 0       0 0       0 3 3 3 3

→ L 4 → L 4 - L 3 - 1 0 0 - 1 0 1 1 1 0       0 0       0 3 3 0 0

Opa, a última linha zerou, isso quer dizer que nossa quarta matriz era C L das demais. Assim, nossa base fica dessa forma:

β = - 1 0 0 1 , 1 - 1 1 0 , 1 1 2 1

Resposta

a)   β = - 1 0 0 1 , 1 - 1 1 0

b)Não

c)   β = - 1 0 0 1

d)   β = - 1 0 0 1 , 1 - 1 1 0 , 1 1 2 1

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