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Exercícios Resolvidos de Soma da Dimensão de Subespaços

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Exercício 12345678910111213141516171819

Enunciado

Sendo

H = x , y , z ∈ R 3 x + y - z = 0 }

S = x , y , z ∈ R 3 t 1,1 , 0 , ∀ t ∈ R }

Verifique que H ⊕ S = R 3 .

Passo 1

O problema pede para verificar que a soma direta entre H e S gera o R 3 inteiro. Isso quer dizer que H ∩ S = { 0 } e H + S = R 3 .

Vamos verificar primeiro se a interseção deles é zero de fato.

Passo 2

Para ver se a interseção é realmente zero, podemos verificar se dim ⁡ H ∩ S = 0 , pois acontece se, e somente se, H ∩ S = { 0 } .

dim ⁡ H + S = dim ⁡ H + dim ⁡ S - d i m ⁡ ( H ∩ S )

Para isso, precisamos saber quais são os geradores de H e de H + S .

Passo 3

Para achar os geradores de H , basta entender a condição dada. Assim, podemos vê-la de outro modo:

z = x + y

Portanto, H é formado pelos vetores do R 3 que possui a última coordenada igual a x + y .

x , y , x + y = x 1,0 , 1 + y ( 0,1 , 1 )

Assim é facinho de ver que H = s p a n { 1,0 , 1 , 0,1 , 1 } e, olhando para os zeros nas coordenadas, vemos que eles são L I . Portanto, dim ⁡ H = 2 .

Passo 4

Para achar os geradores de H + S , basta juntar os geradores dos dois:

H + S = s p a n { 1,0 , 1 , 0,1 , 1 , 1,1 , 0 }

De novo, olhando para os zeros, vemos rapidamente que os vetores são L I e, portanto, dim ⁡ H + S = 3 .

Passo 5

O conjunto S possui apenas um gerador, que não é o vetor nulo, portanto dim ⁡ S = 1 .

Aplicando na fórmula da dimensão:

dim ⁡ H + S = dim ⁡ H + dim ⁡ S - dim ⁡ H ∩ S

3 = 2 + 1 - dim ⁡ H ∩ S

dim ⁡ H ∩ S = 0

Como a dimensão da interseção entre os dois conjuntos é zero, temos que a interseção também é nula. E como a soma é formada por 3 vetores L I , sabemos que o s p a n deles gera o R 3 . Logo, H ⊕ S = R 3 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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