A2 T7 T8 T9
Considere os subespaços e do espaço vetorial , cujas bases são:
Determine uma base para o subespaço soma . Esta é uma soma direta?
Determine uma base para o subespaço .
Passo 1
O subespaço é formado por todas as combinação possíveis de todos os vetores de com todos os vetores de . E sabemos que podemos obter um conjunto gerador para a soma de subespaços unindo os conjuntos geradores de cada um deles! Então seja , temos:
Resta saber agora se isso é uma base de , ou seja, se esses vetores são ! Para facilitar nossa vida, vamos escrever essas matrizes em função da base canônica . Desse modo, teremos:
Para verificarmos se esses vetores são é só jogarmos eles nas colunas de uma matriz e escalonarmos:
Opa, a última linha foi pro espaço, então ela é combinação linear das outras! Logo, uma base para é:
Passo 2
A soma de dois subespaços é direta se a interseção deles tem dimensão . Mas, nesse caso, temos:
Logo,
Então a soma não é direta.
Passo 3
Beleza, o próximo passo é encontrar uma base para ! Sabemos pelo que vimos no último passo que a interseção dos dois tem dimensão ! Falta saber quem é o vetor que gera essa dimensão.
Vamos chamar esse cara que pertence à interseção de com por . Então esse cara tem que ser gerado por e por também:
Passando pra forma matricial teremos a matriz aumentada:
De :
Substituindo em :
Substituindo em :
Logo, nosso vetor genérico de é:
E a base é dada por:
Resposta
. Não é uma soma direta.