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Exercícios Resolvidos de Soma da Dimensão de Subespaços

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Exercício 51234678910111213141516171819

Enunciado

Seja V = M 2 X 2 o espaço vetorial das matrizes 2 x 2 com produto interno canônico. Considere os subespaços vetoriais.

W 1 =   x y z t   ∈ V : y - z = 0 e W 2 =   1 0 2 - 1 ,   1 0 1 0 .

b) W 1 + W 2 é soma direta? Justifique.

Passo 1

Para que W 1 + W 2 seja soma direta, precisamos que W 1 + W 2 = 0 .

A primeira coisa que vamos fazer, é descobrir quais são os geradores de W 1 . Vamos nessa?

Pelo enunciado, nós temos que y - z = 0 , ou seja: y = z .

Sendo assim, podemos escrever que:

x y z t =   x y y t = x 1 0 0 0 + y 0 1 1 0 + t 0 0 0 1

Portanto, W 1 =   1 0 0 0 , 0 1 1 0 , 0 0 0 1 .

Passo 2

Ok, agora que já temos os geradores de W 1 , vamos encontrar a base para W 1 + W 2

A soma é dada pela combinação linear de todos os vetores que geram W 1 e W 2 .

W 1 + W 2 =   1 0 0 0 , 0 1 1 0 , 0 0 0 1 , 1 0 2 - 1 ,   1 0 1 0

Mas, muita hora nessa calma!

A d i m ⁡ ( W 1 + W 2 ) ≤ 4 , e a base acima tem dimensão 5.Isso mesmo, algo errado não está certo haha

Como a gente conserta isso?

Precisamos escolher 4 matrizes LI.

Se você observar direitinho, vai ver que a gente pode escrever uma das matrizes como combinação linear das outras. Dessa forma:

1 0 2 - 1 = 2 1 0 1 0 - 1 0 0 0 - 0 0 0 1

Tranquilo?

Sendo assim, a nossa base para W 1 + W 2 será:

β W 1 + W 2 = 1 0 0 0 , 0 1 1 0 , 0 0 0 1 , 1 0 1 0

OU SEJA, temos que W 1 + W 2   ≠ 0 . Portanto, não é soma direta.

Resposta

b) Não, pois temos W 1 + W 2 ≠ 0 .

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