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Exercícios Resolvidos de Superfície Esférica

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Enunciado

Ache λ real tal que as superfícies esféricas S 1 e S 2 sejam tangentes:

S 1 :   ( x - 1 ) 2 + ( y - 3 ) 2 + z 2 = 1

S 2 :   x 2 + y 2 + z 2 - 2 λ x + 4 λ y + 4 λ z = 0

Passo 1

Devemos determinar o valor de λ para que as superfícies dadas sejam tangentes vamos usar o que aprendemos na teoria. Bora colocar a teoria em prática!! ;)

Passo 2

Da teoria, sabemos que duas superfícies são tangentes, se considerando S 2 e π :

Da teoria também conseguimos calcular a distância d C 2 ,   π por meio da fórmula:

Então, para calcular essa distância precisamos de: ρ 1 ,   ρ 2 , C 1 ,   C 2   e   d C 1 ,   C 2 . Vamos, então, encontrar esses valores.

Para S 1 , temos:

( x - 1 ) 2 + ( y - 3 ) 2 + z 2 = 1

C 1 = 1 ,   3 ,   0

ρ 1 = 1

Para S 2 teremos que completar quadrado:

  x 2 + y 2 + z 2 - 2 λ x + 4 λ y + 4 λ z = 0

( x - λ ) 2 - λ 2 + y + 2 λ 2 - 4 λ 2 + z + 2 λ 2 - 4 λ 2 = 0

( x - λ ) 2 + y + 2 λ 2 + z + 2 λ 2 = 9 λ 2

C 2 = λ ,   - 2 λ ,   - 2 λ

ρ 2 = 3 λ

Já vamos aproveitar e calcular d C 1 ,   C 2 :

d C 1 ,   C 2 = ( 1 - λ ) 2 + ( 3 + 2 λ ) 2 + ( 0 + 2 λ ) 2 = 9 λ 2 + 10 λ + 10

Passo 3

Agora, que temos todos os valores que precisamos podemos calcular a distância d C 2 ,   π :

C 1 = 1 ,   3 ,   0

ρ 1 = 1

C 2 = λ ,   - 2 λ ,   - 2 λ

ρ 2 = 3 λ

d C 1 ,   C 2 = 9 λ 2 + 10 λ + 10

Susbtituindo na fórmula os valores:

d C 2 ,   π = ρ 2 + ρ 2 + ρ 1 - d C 1 ,   C 2 ρ 2 - ρ 1 - d C 1 ,   C 2 2 d C 1 ,   C 2

d C 2 ,   π = 3 λ + 3 λ + 1 - 9 λ 2 + 10 λ + 10 3 λ - 1 - 9 λ 2 + 10 λ + 10 2 9 λ 2 + 10 λ + 10

Como queremos que os planos sejam tangentes temos ainda que d C 2 ,   π = ρ 2 :

3 λ + 3 λ + 1 - 9 λ 2 + 10 λ + 10 3 λ - 1 - 9 λ 2 + 10 λ + 10 2 9 λ 2 + 10 λ + 10 = 3 λ

Resolvendo:

3 λ + 1 - 9 λ 2 + 10 λ + 10 3 λ - 1 - 9 λ 2 + 10 λ + 10 2 9 λ 2 + 10 λ + 10 = 0

3 λ + 1 - 9 λ 2 + 10 λ + 10 3 λ - 1 - 9 λ 2 + 10 λ + 10 = 0

Separando em dois casos:

3 λ + 1 - 9 λ 2 + 10 λ + 10 = 0     o u     3 λ - 1 - 9 λ 2 + 10 λ + 10 = 0      

Resolvendo 3 λ + 1 - 9 λ 2 + 10 λ + 10 = 0  

9 λ 2 + 6 λ + 1 - 9 λ 2 - 10 λ - 10 = 0

- 4 λ - 9 = 0

λ = - 9 4

Resolvendo 3 λ - 1 - 9 λ 2 + 10 λ + 10 = 0  

9 λ 2 - 6 λ + 1 - 9 λ 2 - 10 λ - 10 = 0

- 16 λ - 9 = 0

λ = - 9 16

Chegamos que para as superfícies S 1 e S 2 sejam tangentes devemos ter que:

λ = - 9 4       o u       λ = - 9 16

Resposta

λ = - 9 4       o u       λ = - 9 16

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