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Exercícios Resolvidos de Superfície Esférica

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Enunciado

UFPE – Geometria Analítica – 2018.1 – PF – Questão 3

Considere os pontos A = ( 0 ,   0 ,   1 ) , B = ( 2 ,   0 ,   0 ) , C = ( 1 ,   1 ,   1 ) e D = ( 0 ,   1 ,   0 ) .

  1. Obtenha a equação da superfície esférica S que passa pelos pontos A , B , C e D .
  2. Determine o centro e o raio da superfície esférica.

Passo 1

  1. Pra resolver essa, vamos pegar a equação geral da superfície esférica:

    2. S : x 2 + y 2 + z 2 + a x + b y + c z + d = 0

    Um ponto pertence à esfera se as coordenadas dele servem nessa equação, certo? Então vamos substituir! Vamos ficar com um sisteminha pra resolver.

    1 + c + d = 0 4 + 2 a + d = 0 3 + a + b + c + d = 0 1 + b + d = 0

    Substraindo a primeira da última:

    b - c = 0

    b = c

    Substraindo a primeira da segunda:

    3 + 2 a - c = 0

    a = c - 3 2

    E da primeira:

    d = - c - 1

    Substituindo todas essas relações na terceira equação:

    3 + c - 3 2 + c + c - c - 1 = 0

    2 + c - 3 2 + c = 0

    c - 3 + 2 c + 4 = 0

    3 c = - 1

    c = - 1 3

    Usando as relações que encontramos, vamos achar:

    b = - 1 3

    a = - 5 3

    d = - 2 3

    Daí, a nossa equação vai ser:

    S : x 2 + y 2 + z 2 - 5 x 3 - y 3 - z 3 - 2 3 = 0

    Passo 2

  2. Pra achar o centro e o raio, a gente já sabe o que fazer. Temos que completar os quadrados!

x 2 + y 2 + z 2 - 5 x 3 - y 3 - z 3 - 2 3 = 0

x 2 - 5 x 3 + y 2 - y 3 + z 2 - z 3 - 2 3 = 0

Completando os quadrados:

x - 5 6 2 - 25 36 + y - 1 6 2 - 1 36 + z - 1 6 2 - 1 36 - 2 3 = 0

x - 5 6 2 + y - 1 6 2 + z - 1 6 2 = 51 36

Chegamos em:

x - 5 6 2 + y - 1 6 2 + z - 1 6 2 = 51 6 2

O centro é C = 5 6 , 1 6 , 1 6 e o raio R = 51 6

Resposta

  1. S : x 2 + y 2 + z 2 - 5 x 3 - y 3 - z 3 - 2 3 = 0
  2. C = 5 6 , 1 6 , 1 6 , R = 51 6

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