UFPE – Geometria Analítica – 2019.1 – P3 – Questão 2
Considere o plano e seja uma superfície esférica que tem centro . Sabendo que é tangente a , escreva uma equação para e determine o ponto .
Passo 1
Se liga! Se é tangente a , a distância do centro da esfera até o plano é exatamente o raio, show? Então vamos usar a fórmula de distância de ponto a plano!
Se temos o centro e o raio, já sabemos escrever a equação da esfera!
Passo 2
Beleza, agora a gente quer o ponto de interseção. Concorda comigo que o vetor que liga o ponto de tangência ao centro da esfera é perpendicular ao plano? Isso aí a gente sabe lá da geometria espacial! Então o ponto de tangencia vai ser a interseção desse vetor com o plano. Repara que o diretor desse vetor é o normal ao plano, já que o ângulo do vetor com o plano é perpendicular. Então, o nosso vetor é:
Portanto, um ponto qualquer dele tem coordenadas:
Passo 3
A interseção dele com o plano a gente acha substituindo as coordenadas do vetor na equação do plano!
Substituindo nas coordenadas do vetor, achamos o ponto de tangência!