Considere as superfícies esféricas
a) Justifique por que é uma circunferência.
b) Determine a equação geral do plano que contém a circunferência .
c) Determine o centro e o raio de .
Passo 1
a) Analisando a equação de , vemos que seu centro é e seu raio é .
O centro de é e seu raio é .
A distância entre os centros das circunferências é .
Temos que a diferença entre os raios é menor do que enquanto a soma dos raios é maior:
Logo, é uma circunferência.
Passo 2
b) Primeiro vamos abrir os quadrados das duas equações:
Subtraindo as duas equações, vamos ter
Então, o plano que contém a circunferência é .
Passo 3
c) vai ser a intersecção do plano com qualquer uma das esferas do enunciado.
Vamos fazer , vamos ter que
Da relação temos que .
Belezinha, já achamos o raio, agora só falta o centro :D
O centro de vai ser a projeção ortogonal de sobre , ou seja, a intersecção de com a reta .
Um ponto genérico da reta é , vamos substituir esse ponto na equação do plano para encontrar a intersecção:
Daí temos que .
Substituindo no ponto genérico , temos que o centro de é
Resposta
a) Demonstração.
b) .
c) e .