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Exercícios Resolvidos de Superfície Esférica

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Enunciado

Considere a esfera

S : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 4 y + 4 = 0

a) Escreva a equação de S na posição canônica e determine o centro e o raio.

b) Determine a equação dos planos tangentes à esfera S que sejam paralelos ao plano π : 2 x - y - z + 1 = 0 .

Passo 1

a) Vamos começar completando quadrados na equação dada, assim ó:

x 2 - 2 x + 1 - 1 + y 2 - 4 y + 4 - 4 + z 2 + 0 + 4 = 0

Reescrevendo essa equação utilizando produtos notáveis vamos ter

x - 1 2 - 1 + y - 2 2 - 4 + z 2 + 4 = 0

Logo, a equação na forma canônica vai ser

x - 1 2 + y - 2 2 + z 2 = 1

Analisando a equação, a gente descobre que o centro é C = ( 1 ,   2 ,   0 ) e o raio é r = 1 .

Passo 2

b) Vamos chamar de π ' o plano que estamos procurando.

Como π ' é paralelo a π , esses planos terão o mesmo vetor normal, que é ( 2 ,   - 1 ,   - 1 ) . Então a equação de π ' será no seguinte formato

π ' : 2 x - y - z + d = 0

Falta a gente encontrar o valor de d né??

Passo 3

Ta, a gente quer que esse plano π ' seja tangente à esfera S , a gente viu lá na teoria que pra isso acontecer, devemos ter

d C , π ' = r

Isso é, a distância entre o centro da esfera e o plano deve ser o raio da esfera, certinho?

Lá no item a, a gente calculou que C = ( 1 ,   2 ,   0 ) e r = 1 , então bora calcular a distância entre C e π ' usando aquela formulazinha de distância entre ponto e plano:

d C ,   π ' = | a x 0 + b y 0 + c z 0 + d | a 2 + b 2 + c ²

1 = 2.1 - 1.2 - 1.0 + d 2 2 + - 1 2 + - 1 2

1 = | d | 6

d = 6

d = ± 6

Logo, os dois planos tangentes a S e paralelos a π são

π ' : 2 x - y - z + 6 = 0

π ' ' : 2 x - y - z - 6 = 0

Resposta

a) x - 1 2 + y - 2 2 + z 2 = 1

Centro: ( 1 ,   2 ,   0 )

Raio: 1

b) π ' : 2 x - y - z + 6 = 0

π ' ' : 2 x - y - z - 6 = 0

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