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Exercícios Resolvidos de Teorema dos Eixos Paralelos

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Enunciado

Um objeto é formado por quatro barras delgadas homogêneas, cada uma com massa M e comprimento L , na forma de um quadrado. O momento de inércia em relação ao eixo representado pela linha pontilhada na figura e passando pelo plano do objeto é:

(a) 1 3 M L 2

(b) 2 3 M L 2

(c) 4 3 M L 2

(d) nenhuma das alternativas

(e) 32   M L 2

Passo 1

Ele tá pedindo pra gente calcular o momento de inércia desse corpo em relação àquele eixo.

Como o objeto é formado por barras, logo não são partículas, elas possuem a massa distribuída em toda extensão, então temos aqueles valores tabelados já.

E o momento de inércia do objeto é a soma dos momentos de inércia de cada barra!

Passo 2

Então, vamos separar o nosso objeto em 4 barrinhas:

Então:

I T = I 1 + I 2 + I 3 + I 4

O momento de inércia de uma barra que gira ao redor de um eixo passando pelo centro de massa é uma valor tabelado e vale I = M L 2 12

Olhando pra nossa figura, o eixo passa pelo centro das barras 1 e 3. Então o momento de inércia delas é moleza:

I 1 = I 3 = M L 2 12

Show...Mas em relação ao momento de inércia das barras 2 e 4? Não tem eixo passando por elas! E agora???

Passo 3

Agora a gente usa o famoso teorema dos eixos paralelos:

I P = I C M + M d 2

Calma, é só seguir alguns passos que você vai ver que é moleza:

i) Identificar o eixo de rotação

Beleza, é aquele vertical pontilhado.

ii) Identificar qual é a distância do eixo de rotação para o eixo que passa pelo centro de massa, esse que é o d .

Fizemos isso ali na figura, a distância entre o eixo de rotação, que é o pontilhado, até um eixo passando pelo centro de massa da barra (em vermelho) é L / 2

iii) Calcular o momento de inércia para o eixo que passa pelo CM, o vermelho.

Como a barra tá em cima do eixo, então I C M = 0 .

iv) Aplicando o teorema:

I P = I C M + M d 2

I P = 0 + M L 2 2

Como as barras 2 e 4 estão a mesma distância L / 2 do eixo central e o momento de inércia delas em relação a um eixo passante no CM é zero, então:

I 2 = I 4 = M L 2 2

I 2 = I 4 = M L 2 4

Passo 4

Agora já podemos descobrir o momento de inércia total:

I T = I 1 + I 2 + I 3 + I 4

I T = M L 2 12 + M L 2 4 + M L 2 12 + M L 2 4

Resolvendo isso daí:

I T = 2 M L 2 3

Resposta

Alternativa B

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